Beviser og ”Overbeviser” ”Trekantslinjer” Beviser og ”Overbeviser” AM 2005

Indholdsfortegnelse Kongruenssætninger Vinkelhalveringslinie Midtnormal Median Højde Beviser

Kongruenssætninger Indhold Def. To trekanter siges at være kongruente, hvis alle størrelser er parvis lige store – trekanterne kan bringes til at dække hinanden. Sætn. To trekanter er kongruente, hvis de opfylder et af nedenstående punkter Alle tre sider er parvis lige store To vinkler (og dermed alle tre vinkler) og en mellemliggende side er parvis lige store To sider og den mellemliggende vinkel er parvis lige store Bem. Det betyder, at der er en entydig konstruktion, hvis man kender de pågældende mål. – jf. Geometerintroen om konstruktion af trekanter.

Vinkelhalveringslinje Indhold Definition Vinkelhalveringslinien er den linie, der deler en vinkel i to lige store vinkler. Sætn. 1 Vinkelhalveringslinien er det geometriske sted for de punkter, der har samme afstand til de to vinkelben ”Overbevis” Bevis Sætn. 2 Vinkelhalveringslinier i en trekant skærer hinanden i ét punkt. Dette punkt (S) er centrum for trekantens indskrevne cirkel. ”Overbevis” Bevis

Midtnormal Indhold Definition Midtnormalen til et liniestykke AB er den linie, står vinkelret på AB i midtpunktet. Sætn. 3 Midtnormalen til et liniestykke er det geometriske sted for de punkter, der har samme afstand til de to endepunkter. ”Overbevis” Bevis Sætn. 4 Midtnormalerne i en trekant skærer hinanden i ét punkt. Dette punkt (S) er centrum for trekantens omskrevne cirkel. ”Overbevis” Bevis

Median Indhold Definition En median i en trekant er det liniestykke, der går fra en vinkelspids til midten af modstående side (fx fra A til MBC) Sætn. 5 Medianerne i en trekant skærer hinanden i ét punkt. Dette punkt deler hver median i forholdet 1:2. 2 1 ”Overbevis” Bevis

Højde Indhold Definition En højde i en trekant er det liniestykke, der fra en vinkelspids går vinkelret til modstående side - endepunktet på modstående side kaldes højdens fodpunkt Sætn. 6 Højderne i en trekant skærer hinanden i ét punkt. ”Overbevis” Bevis

Sætn. 1 Vinkelhalveringslinie – geometrisk sted Indhold Bevis 1. del () P ligger på vinkelhalveringslinien  afstanden fra P til de to vinkelben er den samme B A Vides: P ligger på vinkelhalveringslinien C dvs. at de to vinkler er lige store Afstandene fra P til de to vinkelben er de vinkelrette afstande hhv. |PC| og |PB| De to trekanter ABP og ACP har da alle tre vinkler ens, vinkelsum = 180. De har også en fælles side og er derfor kongruente iflg. kongruenssætn. 2. Dermed er de ensliggende sider lige store, så |PC| = |PB|

Vinkelhalveringslinie – geometrisk sted Indhold Bevis 2. del () Afstanden fra et punkt P til de to vinkelben er den samme  P ligger på vinkelhalveringslinien B Vides: P er et punkt, der har samme afstand til de to vinkelben, dvs. |PC| = |PB| De to retvinklede trekanter ABP og ACP har da hypotenuse og den ene katete ens, så må den sidste katete også være ens iflg. Pythagoras’ sætn. C A De er derfor kongruente iflg. kongruenssætn. 1. Dermed er de ensliggende vinkler lige store, så BAP = CAP, som altså er halvdelen af A, så P ligger på vinkelhalveringslinien.

Sætn. 2 Vinkelhalveringslinier i en trekant skærer i ét punkt – centrum for indskrevet cirkel Indhold Bevis De to vinkelhalveringslinier vB og vC skærer hinanden i et punkt S. vB vA vC vB vC vB vC Iflg. sætn. 1 () er afstandene fra S til vinkelbenene ens: S ligger på vB S ligger på vC |SG|=|SF| |SE|=|SF| }  |SG|=|SE| Iflg. sætn. 1 () ligger S så også på vA. Dermed skærer de tre vinkelhalveringslinier altså hinanden i samme punkt. Cirklen med S som centrum og afstanden fra S til de tre vinkelben som radius er trekantens indskrevne cirkel.

Sætn. 3 Midtnormal – geometrisk sted Indhold Bevis 1. del () P ligger på midtnormalen til liniestykket AB  afstanden fra P til A og B er den samme – altså |PA|=|PB| Vides: P ligger på midtnormalen dvs. BMABP = AMABP = 90 og BMAB = AMAB = ½AB De to retvinklede trekanter BMABP og A MABP har også en fælles katete Iflg. Pythagoras’ sætn. må hypotenuserne så også være ens Altså er |AP|=|BP|

Midtnormal – geometrisk sted Indhold Bevis 2. del () Afstanden fra et punkt P til to punkter A og B er den samme  P ligger på midtnormalen til AB Vides: P er et punkt, der har samme afstand til punkterne A og B, dvs. |PA| = |PB| P forbindes med midtpunktet af AB. BMAB = AMAB = ½AB, og de to trekanter har desuden en fælles side. De to trekanter er dermed kongruente iflg. kongr. sætn. 1. Dermed er de ensliggende vinkler lige store, så BMABP = AMABP. Da de tilsammen er en lige linie, må hver af dem være en ret vinkel. Altså ligger P på midtnormalen til AB.

Sætn. 4 Midtnormalerne i en trekant skærer i ét punkt – centrum for omskrevet cirkel Indhold Bevis De to midtnormaler mAC og mCB skærer hinanden i et punkt S. Iflg. sætn. 3 () er afstandene fra S til endepunkterne ens: S ligger på mAC S ligger på vCB |SA|=|SC| |SB|=|SC| }  |SA|=|SB| Iflg. sætn. 3 () ligger S så også på midtnormalen mAB. Dermed skærer de tre midtnormaler altså hinanden i samme punkt. Cirklen med S som centrum og afstanden fra S til de tre vinkelspidser som radius er trekantens omskrevne cirkel.

Sætn. 5 Medianerne i en trekant skærer i ét punkt – som deler medianerne i forholdet 1:2 Indhold Bevis Medianen fra A tegnes Linien parallel med AB gennem MBC tegnes. BC skærer de to parallelle linier MBCD og BA  B =C MACD Tilsvarende fås, at BAC =  MBCDC Da to trekanter BAC og MBCDC er altså ensvinklede, da C er fælles. BAC er en forstørrelse af MACDC med en faktor 2, da MBC er midtpunkt af BC. Altså er |BA| = 2|MBCD| og |AC|= 2|DC|, hvilket betyder, at D = MAC, og BD er altså en median.

Medianer - fortsat Medianen fra B tegnes og skæringspunktet med medianen fra A kaldes S. ASB og MBCSMAC er ensvinklede, og da |BA| = 2|MBCMAC| er|BS| = 2|SMAC|  |BMAC| = 3|SMAC|. Tilsvarende fås |AMBC| = 3|SMBC|. På samme måde tegnes linjestykket gennem MAC parallelt med BC. R er skæringspunktet mellem medianen fra B og medianen fra C. Som før vises, at |BMAC| = 3|RMAC| og |CMAB| = 3|RMAB|. Da S og R begge ligger på BMAC og i samme afstand fra MAC, må de være ét og samme punkt. Altså skærer medianerne hinanden i ét punkt. Undervejs er det også vist, at medianerne deles i forholdet 1:2, idet fx |BS| = 2|SMAC|

Sætn. 6 Højderne i en trekant skærer hinanden i ét punkt Gennem de tre vinkelspidser tegnes linier, der er parallelle med de modstående sider. ABCR er et parallelogram, så AR = BC og AB = CR Ligeledes er AQBC og ABPC parallelogrammer, så |AQ|=|CB|, |BQ|=|CA|, |AB|=|CR| og |BP|=|AC| Dvs. at |AQ|=|AR|, |BQ|=|BP| og |CP|=|CR|, og punkterne A, B og C er altså midtpunkter i QRP Højderne i ABC tegnes. Højden AFa fra A står vinkelret på BC og dermed også på QR og er derfor midtnormal til QR, da A er midtpunkt af QR. Tilsvarende er højderne CFc og BFb midtnormaler til hhv. PR og QP. Iflg. sætn. 4 skærer disse hinanden i ét punkt