Topologiske betragtninger En kurve er en kontinuert afbildning af intervallet [0,1] ind i R 2 En kurve kan være space-filling, dvs. f.eks. gå gennem ethvert punkt i [0,1]× [0,1] Men så skærer den sig selv (meget!) Så vi betragter simple kurver, dvs. uden selvskæringer

Jordan’s kurvesætning En kurve er lukket, hvis 0 og 1 afbildes i samme punkt Jordan: Enhver simpel lukket kurve i R 2 deler planen i to sammenhængende områder, det indre og det ydre i forhold til kurven Historisk ikke helt let at se, at dette kræver et bevis Historisk (derefter) ikke helt let at vise

Planare grafer En graf er planar, hvis den kan indlejres i planen således, at grafens punkter svarer til forskellige punkter i planen, og hver kant i grafen svarer til en simpel kurve mellem dens endepunkter, således at forskellige kurver højst har endepunkter fælles I givet fald kan indlejringen ske således, at alle kanter svarer til polygonale kurver

Kuratowski’s Sætning En underdeling af en graf G er en graf, hvor hver kant i G er erstattet af en vej med de samme endepunkter En graf G og underdelinger deraf har ”samme” indlejringer Kuratowski: En graf er planar, hvis og kun hvis den ikke indeholder en underdeling af K 5 eller K 3,3 som delgraf

Carsten Thomassen’s artikel Den for opgaveregningen relevante del: Indeholder en god diskussion af emnet grafer på flader Beviser, at K 3,3 ikke er planar Bruger dette (og et par andre grafteoretiske observationer) til at vise Jordan’s kurvesætning Benytter ikke figurer!

Carstens artikel, fortsat Yderligere emner: Jordan-Schönflies’ Sætning Triangulering af flader Nyt bevis for klassifikationen af flader (en flade er et sammenhængende kompakt topologisk rum, der ligner R 2 i hvert punkt) – klassifikationen siger, at de alle fremkommer fra en kugle ved at tilføje ”håndtag” eller ”crosscaps” Carsten fik en pris for denne artikel

Checkliste Bondy & Murty 2 Delgraf, punkt- og kantsletning Supergraf Maxim al og maxim um Acyklisk graf Udspændende og inducerede delgrafer Vægtet graf Sammentrækning

Afsnit 2.4 En dekomposition af en graf G er en samling kantdisjunkte delgrafer som tilsammen bruger alle G’s kanter Hvilke grafer har en vej-dekomposition? Hvilke grafer har en kreds-dekomposition? Exempel på ”Proof Technique” box: Hvor få komplette todelte grafer kan en komplet graf dekomponeres i? Dække (cover)