1 Vi ser nu på en general graf Men antager at alle afstande er heltallige (Det er ikke så restriktivt) Algoritmen leder efter den mindst mulige dækningsdistance Uvægtede knude P-center problem

2 Hvordan findes den minimale dækningsdistance? Bruger sammenhængen mellem set covering problemet og knude P-center problemet Minimal dækningsdistance til P-center problemet = den mindste dækningsdistance som giver en løsning på mindre end eller lig P i set covering problemet Uvægtede knude P-center problem

3 DCDC # faciliteter < 76 7, AD F E C B # faciliteterDCDC Set coveringKnude P-center Løs knude P-center problemet med P = 4D C = 7 P = 5D C = 7

4 Uvægtede knude P-center problem DCDC # faciliteter < 76 7, AD F E C B # faciliteterDCDC Set coveringKnude P-center Løsningsmetoden Løs set covering problemet med en lille og en stor dækningsdistance, og tilpas bagefter

5 Uvægtede knude P-center problem DCDC # faciliteter < 76 7, # faciliteterDCDC Set covering Knude P-center iterationTrin 2 (D C )Trin 3 (P * )Trin UB = UB = UB = LB = 6 584UB = 8 674UB = 7 766LB = 7 Eksempel med P = 4 LB = 0 UB = 85

6 Det er nu muligt at placere de nye faciliteter mellem knuderne Vi kan derfor ikke bruge set covering problemet Kan vi finde alle de mulige placeringer for nye faciliteter??? Hvis ja, så kan vi igen bruge set covering Uvægtede absolutte P-center problem

7 Karakteristik af en løsning Antag en ny facilitet C er placeret på en kant fra knude A til knude B Knuden X er allokeret til C og der er en sti fra både A til C og fra B til C Antag desuden at: d(A,X) + d(A,B) > d(B,X) d(B,X) + d(A,B) > d(A,X) Uvægtede absolutte P-center problem AB X C

8 Se på afstandsfunktionen fra X til C: d(A,X) + d(A,B) > d(B,X) d(B,X) + d(A,B) > d(A,X) Uvægtede absolutte P-center problem AB X C AB D(A,X) D(B,X)

9 Se på afstandsfunktionen fra A til C: Uvægtede absolutte P-center problem AB X C AB

10 Se på afstandsfunktionen fra B til C: Uvægtede absolutte P-center problem AB X C AB

11 Se på afstandsfunktionerne lagt sammen Uvægtede absolutte P-center problem AB X C ABAB AB D(A,X) D(B,X)

12 Vi kan løse det absolutte 1-center problem ved at finde alle minimum for alle kanter Uvægtede absolutte P-center problem AB X C ABAB AB D(A,X) D(B,X)

13 Udelukkelse af kanter –Lad V(K) være værdien af knude 1 center problemet hvis vi placerer i knude K –Vi kan finde en nedre grænse for kanten (A,B) da hældningen på distancefunktionen er 1 eller -1 Uvægtede absolutte P-center problem AB V(B) V(A)

14 V(A) – x = V(B) – d(A,B) + x x = ( V(A) – V(B) + d(A,B) ) / 2 Værdien i x = ( V(A) + V(B) – d(A,B) ) / 2 Uvægtede absolutte P-center problem AB V(B) V(A)

15 Vi kan derfor udelukke alle kanter med en værdi der er større end en allerede kendt værdi Nedre grænse for kant (A,B) = ( V(A) + V(B) – d(A,B) ) / 2 Uvægtede absolutte P-center problem AB V(B) V(A)

16 Proceduren fra 5.4 kan udvides hvis vi kan finde et endeligt antal punkter, som de nye faciliteter skal placeres i Se på egenskaber for disse punkter (centre) Uvægtede absolutte P-center problem

17 d(Y,A) d(X,B) For hvert center C findes mindst 2 knuder X og Y hvor det gælder: d(X,C) = d(Y,C) d(X,C) ≥ d(n,C) for alle n allokeret til C d(X,C) eller d(Y,C) vokser hvis C flyttes marginalt Uvægtede absolutte P-center problem AB X C Y d(X,A) d(Y,B)

18 Vi vil nu se på hvornår X og Y kan definere et center på kanten (A,B) Uvægtede absolutte P-center problem AB X C Y d(X,B)d(X,A) d(Y,B) d(Y,A)

19 Antag nu at X,Y definerer et center på kanten (A,B) Da gælder: min{d(A,X), d(A,Y)} + d(A,C) = min{d(B,X), d(B,Y)} + d(B,C) d(A,C) = ( min{d(B,X), d(B,Y)} + d(A,B) – min{d(A,X), d(A,Y)} ) / 2 Uvægtede absolutte P-center problem AB X C Y d(X,B)d(X,A) d(Y,B) d(Y,A)

20 Selvom Proposition 1 er opfyldt kan vi dog ikke være sikre på at vi finder et lokalt center d(A,C) = ( min{d(B,X), d(B,Y)} + d(A,B) – min{d(A,X), d(A,Y)} ) / 2 = 0,5 d(X,C) = d(Y,C) = 35,5 Uvægtede absolutte P-center problem AB X C Y

21 Vi kan også finde et lokalt center som ikke umidelbart er optimalt d(A,C) = ( min{d(B,X), d(B,Y)} + d(A,B) – min{d(A,X), d(A,Y)} ) / 2 = 5 d(X,C) = d(Y,C) = 28 Uvægtede absolutte P-center problem AB X C Y W Z 10 22

Ved at bruge formelen for d(A,C) kan vi nu finde alle mulige centre. Bemærk at vi ikke behøver medtage de centre som Proposition 1 sorterer fra Uvægtede absolutte P-center problem AB X C Y W Z 10 22