FEN Prædikater/Seminar 11 Prædikatslogik eller Kvantificerede udtryk Prædikater udvider propositionslogikken på to måder: –Vi tillader variable og deludtryk af vilkårlig type –Vi indfører kvantorer (quantifiers) Bemærk et udsagn (proposition) er også et prædikat.

FEN Prædikater/Seminar 12 Kvantorer: sum Summen af heltallene fra 1 til n-1: …+(n-1) kan ved brug af sumkvantoren skrives (Σ i | 1 ≤ i < n : i) Hermed bliver (Σ i | 1 ≤ i < n : i) = (n−1) ⋅ n/2 et prædikat (faktisk en tautologi!) En slags ”for- loop” med i som index

FEN Prædikater/Seminar 13 For eksempel: (Σ i | 1 ≤ i < n : i 2 +i+1) = ( ) + ( ) ((n−1) 2 + (n−1) + 1) Generelt ser et kvantificeret sumudtryk ud som følger: (Σ i | R(i) : T(i)) Kvantorer: sum i’s variationsområde (range) Et udtryk (en term) som ofte afhænger af i i er en bunden variabel

FEN Prædikater/Seminar 14 Udtrykket T(i) behøver ikke at afhænge af i, selvom det oftest gør det: (Σ i | 0 ≤ i < n : 2) = (n gange) = 2 ⋅ n R(i) ikke behøver at definere et sammenhængende interval: (Σ i | 1 ≤ i ≤ 2 ⋅ n  even(i) : i) = ⋅ n Kvantorer: sum Et prædikat, som afgør om i er lige i’s variationsområde er ikke et sammenhængende interval

FEN Prædikater/Seminar 15 Andre vigtige kvantorer I Alkvantoren: –  x  R : x + 1  x –Læses som ” For alle reelle tal x gælder, at x+1 er forskellig fra x” Eksistenskvantoren: –  x  R : 2x = 1 –Læses som ”Der eksisterer et reelt tal x, således at 2x = 1” ( nemlig x = 1/2 )

FEN Prædikater/Seminar 16 Andre vigtige kvantorer II Antalskvantor: –(# i | R(i) : T(i)) = (Σ i | R(i)  T(i) : 1) –Læses som ” Antallet af sande T(i), hvor i tilhører R(i)”. Bemærk, at T(i) skal være et sandhedsudtryk (boolean). –Eksempel: (# i | 0 ≤ i < 10: even(i)) Antal lige tal mellem 0 og 9 (inkl.). Produktkvantor: –(  i | 0 ≤ i < 3 : i + (i+1)) = (0+(0+1))  (1+(1+1))  (2+(2+1)) = (1)  (1+2))  (2+3) = 1  3  5 = 15

FEN Prædikater/Seminar 17 Vi kan definere masser af kvantorer: –Generelt vil enhver (associativ og kommutativ (symmetrisk)) operator kunne definere en kvantor –Fx: Minimum af to værdier a og b: a  b Maximum af to værdier a og b: a  b  og  er associative og kommutative Strengt taget skal den også have et neutralt element. Hvad er det? Operatorer og kvantorer I Hvorfor?

FEN Prædikater/Seminar 18 Minimumskvantoren  : (↓ i | 0 ≤ i < n : b[i]) = ”det mindste tal i array’et b[0..n)” Hvad er det, hvis n=0? Vi behøver ikke specielle symboler for kvantorer, men kan bruge den tilsvarende operator: –Fx: (+ i | 1 ≤ i < n : i) i stedet for (Σ i | 1 ≤ i < n : i). Operatorer og kvantorer II

FEN Prædikater/Seminar 19 Operatorer og kvantorer III ,  og  svarer til operatorerne ⋅,  og  Etc.

FEN Prædikater/Seminar 110 Kvantorer og neutralt element (  i | false : T(i)) = 0 –summen af ingenting er 0x+0 = x (  i | false : T(i)) = 1 –produktet af ingenting er 1x  1 = x (# i | false : T(i)) = 0 –antal elementer i ingenting er 0 (  i | false : T(i)) ≡ true –T(i) skal være sand for alle i, og der er ingen itrue  p = p (  i | false : T(i)) ≡ false –T(i) skal være sand for mindst et i, og der er ingen ifalse  p = p Kvantor over tomt range giver neutralt element. Dette er vigtigt i forbindelse med specifikationer og initialisering af løkker (og terminering af rekursive funktioner) Næste modul.

FEN Prædikater/Seminar 111 Sammensatte prædikater (Martin’s notation) Bundne (”lokale”) variable –  x  R( x + 1  x) og  x  R( 2x = 1 ) –Understreger den bundne variabel x’s scope Vigtigt ved sammensatte prædikater: –  x (  y ( ( x – y) 2 < 4 )) --true? –  y (  x ( ( x – y) 2 < 4 )) --false?

FEN Prædikater/Seminar 112 Sammensatte prædikater - Notationer Bundne (”lokale”) variable –  x  R( x + 1  x)  x  R( 2x = 1 ) –Understreger den bundne variabel x’s scope Vigtigt ved sammensatte prædikater: –  x (  y ( ( x – y) 2 < 4 )) --true? –  y (  x ( ( x – y) 2 < 4 )) --false? MEC’s notation –  x  R : x + 1  x  x  R : 2x = 1 –  x:  y: ( x – y) 2 < 4 –  y:  x: ( x – y) 2 < 4

FEN Prædikater/Seminar 113 Sammensatte prædikater -Regneregler

FEN Prædikater/Seminar 114 Lad x betegne et vilkårligt element i en eller anden mængde og p(x) et prædikat: De Morgan:  (  x: p(x))   x:  p(x) Anvend på  p(x):  (  x:  p(x))   x:  (  p(x)) Reducer højresiden og udnyt at ‘  ’ er kommutativ:  x: p(x)   (  x:  p(x)) “det gælder ikke, at der eksisterer et x hvor p(x) ikke gælder – dvs. p gælder for alle x” SELECT * FROM --- WHERE NOT EXISTS (SELECT * FROM --- WHERE NOT EXISTS Eksempel: ForAll i SQL: SQL har eksistenskvantor, men ikke alkvantor

Øvelse FEN Prædikater/Seminar 115 Fra Martin 3 rd Ed.: