Parringer (matchings) En parring i en graf G er en mængde af uafhængige kanter, dvs. to forskellige kanter har ikke et punkt fælles En parring af en delmængde A af punkter er en parring, hvor hvert punkt i A er endepunkt for en kant i parringen En parring af hele V(G) kaldes også en perfekt parring; en 1-faktor er en delgraf, hvis kanter er en perfekt parring
Alternerende veje En alternerende vej med hensyn til en parring P i en graf G er en vej, der begynder i et uparret punkt og skiftevis indeholder kanter fra E(G)\P og P En udvidende vej er en alternerende vej af længde større end 0, hvis endepunkter begge er uparrede Sætning: En parring P i en graf G er af maximum kardinalitet, hvis og kun hvis der ikke findes nogen udvidende vej med hensyn til P
Parring i todelte grafer Et punktdække (vertex cover) i en todelt graf G er en mængde U af punkter, således at hver kant i G har et endepunkt i U Königs Sætning: For en todelt graf er det mindste antal punkter i et punktdække lig med det største antal kanter i en parring Mengers sætning: For enhver graf G og delmængder A og B af V(G) er det mindste antal punkter, der separerer A fra B lig med det største antal disjunkte A-B veje
Plane og planare grafer Proposition 4.2.8: En plan graf med mindst 3 punkter er maximalt plan, hvis og kun hvis den er en plan triangulering Eulers formel: En sammenhængende plan graf med n punkter, m kanter og l masker opfylder n – m + l = 2 Corollary 4.2.10: En plan graf med n > 2 punkter har højst 3n – 6 kanter. En plan triangulering med n punkter har 3n – 6 kanter Corollary 4.2.11: En plan graf indeholder ikke en underdeling (topological minor) af K5 eller K3,3 Proposition 4.4.1: En maximalt plan graf er maximalt planar. En planar graf med n > 2 punkter er maximalt planar, hvis og kun hvis den har 3n – 6 kanter
Kuratowskis Sætning Følgende er ækvivalente for en graf G: (i) G er planar (ii) G indeholder hverken K5 eller K3,3 som minor (ii) G indeholder hverken en underdeling af K5 eller af K3,3