Representations for Path Finding in Planar Environments

2 Problemstilling Hvordan kan et område med forhindringer repræsenteres bedst, med henblik på at finde korteste veje i området?

3 Repræsentationer GridVisibility GraphNavigation Mesh

4 Konstruktion Grid:

5 Konstruktion Visibility graph:

6 Konstruktion Navigation mesh: GrafDelaunay TriangulationConstrained Delaunay Triangulation

Eksperimenter Labyrinter: 7 GridVisibility GraphNavigation Mesh

Resultater Konstruktion af repræsentationer: 8

Algoritmer til at finde korteste veje i planare omgivelser med forhindringer Algoritmer til søgning i grafer ▫Dijkstra’s algoritme ▫A* Søgning i repræsentationerne ▫Grid ▫Visibility graph ▫Navigation mesh  Channels  Funnel algoritme 9

Algoritmer til søgning i grafer To typer af algoritmer: ▫Single-source shortest-paths ▫Single-pairs shortest-paths Udførselstid: O(m + n log n) ▫Bruger en minimums prioritetskø med:  insert O(log n) tid  extract min O(log n) tid  decrease keyO(1) tid 10

Algoritmer til søgning i grafer Dijkstra’s algoritme ▫Single-source shortest-paths algoritme ▫Bruger funktionen f(v)=g(v) til at estimere prioriteten v e for en knude v. ▫g(v) = u e + w(u, v) 11

Algoritmer til søgning i grafer A* ▫Single-pairs shortest-paths algoritme ▫Bruger funktionen f(v)=g(v) +h(v) til at estimere prioriteten for en knude v. ▫h(v) = euclidianDist(v, goal) 12

Algoritmer til søgning i grafer A* heuristik egenskaber ▫Admissible – h(v) overestimerer aldrig omkostningen for at komme fra v til målet. h(v) ≤ c(v, goal) ▫Consistent – Når vi går fra v til u ∈ succ(v) kan vi ikke komme tættere på målet end afstanden imellem u og v. h(v) ≤ c(v, u) + h(u) 13

Søgning i repræsentationerne Byg en connectivity graph: ▫Knuder: tilstande i repræsentationen ▫Kanter: transitioner imellem tilstande GridVisibility GraphNavigation Mesh 14

Søgning i repræsentationerne Grids og Visibility graphs ▫Bruger i g(v) den akkumulerede afstand fra startpunktet til v. ▫I h(v) bruges den Euklidiske afstand til målpunktet ▫I grid repræsentationen benyttes midtpunktet af cellen når afstande beregnes. ▫Knuderne i en Visibility graph er kan bruges direkte til estimering af afstandene. 15

Søgning i repræsentationerne Navigation Mesh ▫Heuristikker:  Afstand fra midtpunkter på kanterne til målet.  Korteste afstand fra kanten til målet. “The heuristic is calculated as the Euclidean distance between the goal and the closest point to it on this edge. We know this heuristic to be both admissible and consistent [...].” - Demyen & Buro 16

Længde: Længde: Demyen & BuroAdmissible Navigation Mesh ▫Heuristikker : 17

Navigation Mesh Channels ▫Graf søge algoritmen returner ikke den direkte sti, men de trekanter som den går igennem, kaldet en channel. 18

Navigation Mesh Funnel algoritme ▫Finder kortesteveje i simple polygoner. ▫Udførselstid: O(n), n = antal interne kanter 19

Funnel Algoritme 20

Funnel Algoritme 21

Funnel Algoritme 22

Funnel Algoritme 23

Funnel Algoritme 24

Funnel Algoritme 25

Funnel Algoritme 26

Funnel Algoritme 27

Funnel Algoritme 28

Funnel Algoritme 29

Funnel Algoritme 30

Funnel Algoritme 31

Funnel Algoritme 32

Funnel Algoritme 33

Funnel Algoritme 34

Funnel Algoritme 35

Funnel Algoritme 36

Funnel Algoritme 37

Funnel Algoritme 38

Funnel Algoritme 39

Funnel Algoritme 40

Funnel Algoritme 41

Funnel Algoritme 42

Funnel Algoritme 43

Funnel Algoritme 44

Funnel Algoritme 45

Funnel Algoritme 46

Funnel Algoritme 47

Funnel Algoritme 48

Funnel Algoritme 49

Funnel Algoritme 50

Funnel Algoritme 51

Funnel Algoritme 52

Funnel Algoritme 53

Funnel Algoritme 54

Funnel Algoritme 55

Funnel Algoritme 56

Funnel Algoritme 57

Resultater Find korteste veje i repræsentationerne: 58