Annuitet og Payback Erhvervsøkonomi / Managerial Economics Kjeld Tyllesen PEØ, CBS Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

har vi følgende 4 modeller: Når vi ønsker en økonomisk beregning af et foreliggende projekt (Investering eller Finansiering) har vi følgende 4 modeller: 1. Kapitalværdi 2. Den effektive forrentning 3. Annuitetsmetoden 4. Payback-metoden De 3 første metoder hænger teoretisk og logisk sammen og vil derfor med hver sine beslutningsregler komme frem til det samme resultat Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

og derfor også kan komme til andre resultater Nr. 4. Payback-metoden er en selvstændig ”tommelfinger”-model, som teoretisk set ikke hænger sammen med 1 – 3, og derfor også kan komme til andre resultater som altså ikke er teoretisk korrekte Men nemme – og praktiske at anvende Nr. 1 og 2 er der redegjort for i særskilte film Så her gennemgås de 2 andre økonomiske beregningsmodeller, altså # 3 og 4 ovenfor Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

for Investerings-/Finansieringsforslaget - uanset metode Først ser vi på Fælles betingelser for Investerings-/Finansieringsforslaget - uanset metode Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Så det grundlæggende udgangspunkt er altså en betalingsstrøm Det er en grundlæggende antagelse i denne fremstilling, at der rent regneteknisk ikke er nogen forskel på Investering og Finansiering I begge tilfælde er der tale om betalingsstrømme med periodisk inddeling KapitalværdiN = Værdi på et givet tidspunkt, N af alle projektets ind- og udbetalinger ”Projektet” kan være såvel et Investeringsforslag som et forslag til Finansieringsform Så det grundlæggende udgangspunkt er altså en betalingsstrøm Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Dette er den ”rene” form med én ud-/indbetaling Hvis der er tale om en Investering, ser likviditetsforløbet således ud: Tid Og hvis der er tale om en Finansieringsform, ser likviditetsforløbet således ud: Tid Dette er den ”rene” form med én ud-/indbetaling Der kan selvsagt forekomme forløb, hvor den indledende betaling (+/-) deles over flere perioder, ligesom der i de efterfølgende perioder også kan forekomme ”modsatte” (+/-) forløb Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

af Projektet/Finansieringsforslaget Dernæst ser vi på 3. Annuitetsmetoden af Projektet/Finansieringsforslaget I første omgang ser vi på en Investering Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Først udregner vi projektets K0-værdi, således Så nu vil vi i stedet rent beregningsmæssigt konvertere projektets likviditetsforløb til én annuitet (altså det samme beløb hver periode), løbende over projektets levetid Først udregner vi projektets K0-værdi, således K0 * (1+r)-1 * (1+r)-5 * (1+r)-3 1 2 3 4 N-1 N Tid * (1+r)-4 * (1+r)-6 * (1+r)-2 der også kan skrives således: N K0 = U0 + ∑ It * (1 + r)-t t=1 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

der kan beregnes således: Nu er alle projektets likviditetsstrømme altså blevet samlet/ konverteret til ét beløb, K0, således K0 1 2 3 4 N-1 N Tid som herefter med den gældende kalkulationsrente r konverteres til en annuitet, AN, over det samme antal, N, perioder K0 1 2 3 4 N-1 N Tid der kan beregnes således: AN = K0 * r * (1 + r)N = K0 * r . (1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N (2 måder at skrive det samme på) Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Men hvis AN er positiv, er K0 også positiv, da Hvis AN er positiv, er det et projekt, der giver en Effektiv forrentning, der er højere end kalkulationsrenten, og det er derfor fordelagtigt at gå ind i Men hvis AN er positiv, er K0 også positiv, da AN = K0 * r * (1 + r)N = K0 * r . (1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N og de røde faktorer ovenfor altid antager positive værdier Og så kan man lige så godt bare betragte K0. Er den positiv, er AN det også Er K0 negativ, er AN det også. Og omvendt!! Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Og så kan man lige så godt stoppe ved K0 – hvorfor regne mere? Og det er noget mere enkelt. Man skal alligevel først finde K0 for at finde frem til AN Og så kan man lige så godt stoppe ved K0 – hvorfor regne mere? Jo, for det kan jo tænkes, at man til vurdering af projektet får opgivet indbetalingerne som en annuitet – altså at en gennemførelse af projektet vil resultere i en konstant periodevis indbetaling Og at man så i tillæg hertil får opgivet investeringssummen, scrapværdien og en række udbetalinger til vedligehold etc. I så fald kan sidstnævnte omregnes til en annuitet med samme løbetid som indbetalingerne, og de 2 annuiteter for indbetalinger og udbetalinger kan så sammenlignes direkte og sammenholdes til én periodisk netto-betaling Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Et eksempel, Investering: Vi ser på følgende investeringsprojekt og først på K0 = f(r). K0 som funktion af r N Betaling -100 1 40 2 30 3 50 4 25 5 20 6 r K0 0% 90,00 2% 78,58 4% 68,21 6% 58,79 8% 50,19 10% 42,33 12% 35,12 14% 28,50 16% 22,40 18% 16,77 20% 11,57 Her er N = 6 Effektiv forrentning Ikke retliniet Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Og nu omregnes K0-værdierne for stigende r så til Annuiteter med N = 6 Så med A6 = f(K0) og K0 = f(r) => A6 = f(r) K0 og A6 som funktion af r r K0 0% 90,00 2% 78,58 4% 68,21 6% 58,79 8% 50,19 10% 42,33 12% 35,12 14% 28,50 16% 22,40 18% 16,77 20% 11,57 => A6 15,00 14,03 13,01 11,96 10,86 9,72 8,54 7,33 6,08 4,80 3,48 Ikke retliniet Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Nu indekserer vi både K0 og A6 med værdien ved 0% = 100 Så er det nemmere at sammenligne udviklingen i K0 og A6 som funktion af r Og så ser vi noget sjovt (humor er forskellig……) De 2 indekser opnår BEGGE indeks-værdien 0 ved 25,07 % pr. periode Fordi projektets effektive forrentning = 25,07% (fundet tidligere), og så bliver K0 = 0 (rent definitorisk) Og når K0 = 0, bliver A6 = 0 (selvfølgelig) Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

”Al ting foran” vil blive ”omvendt” Annuitetsmetoden kan også anvendes ved vurdering af Finansieringsforslag ”Al ting foran” vil blive ”omvendt” Alle metoder, principper og kriterier vil være de samme Men man skal selvfølgelig lige huske, at modsat at investere, gælder det selvfølgelig nu om at slippe så billigt som muligt, altså med den laveste annuitet Det er ikke så ofte, at Annuitetsmetoden bruges på Finansieringsforslag, men det kan altså fint lade sig gøre – hvis metoden passer til problemstilling og foreliggende data Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

af Investering-/Finansieringsforslaget Dernæst ser vi på 4. Payback-metoden af Investering-/Finansieringsforslaget I første omgang ser vi på en Investering Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Payback-modellen er fokuseret på likviditet og ikke på forrentning Denne model er på det teoretiske niveau ikke sammenhængende med de 3 foregående modeller Payback-modellen er fokuseret på likviditet og ikke på forrentning Det forudsættes, at investeringsprojektets likviditetsforløb ser således ud: Tid Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Eller - hvis Finansiering - sådan Tid Altså én indbetaling (hvis Finansiering) eller udbetaling (hvis Investering) på tidspunkt 0 og derpå en række modsatrettede netto likviditetsstrømme Desuden forudsættes endvidere – hvis ikke andet er oplyst – at nettoindbetalingerne er jævnt fordelt indenfor den enkelte periode For projektet akkumuleres netto-likviditeten fra hver periode for stigende N, fra tidspunkt 0 og fremad Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Dette antal perioder er analysens resultat Når den akkumulerede likviditet skifter fortegn, registreres det antal perioder, som er gået siden projektets start Dette antal perioder er analysens resultat På forhånd har Investor fastsat det maksimale antal perioder til tilbagebetaling af investeringssummen, som kan accepteres for at gennemføre projektet Analysens resultat sammenholdes så med dette på forhånd fastsatte antal perioder, og projektets accept besluttes her ud fra Hvis projektet er tilbagebetalt hurtigere end den fastsatte maksimumsgrænse, accepteres det og gennemføres. Ellers forkastes projektet Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Ved fastsættelsen af den tilladte tidsmæssige maksimums-grænse lades alle netto-indbetalinger (+/-) efter dette tidspunkt altså helt ude af betragtning, når projektets bonitet skal vurderes Tid Max. Dette skyldes en erkendelse af, at usikkerheden om budgetterede fremtidige betalinger stiger med den tidsmæssige afstand dertil, altså jo længere fremme betalingerne ligger i tid, jo mere usikre er de m.h.t. beløb og tidsmæssig placering – og udeladelsen heraf er dermed et udtryk for risiko ved projektet (r = ∞%) Hvis (når) det nøjagtige tidspunkt for fortegnsskift for den akkumulerede sum dernæst skal fastlægges, anvender man proportional-regning indenfor den enkelte periode Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Modellen anvendes i 2 versioner: 1. Den statiske model 2. Den dynamiske model 4.1. Først den statiske model: Her indregnes alle nettobetalingerne i ovenstående beregninger med sit nominelle beløb, altså ”face value” Nettobetalingerne pr. periode akkumuleres og tidspunktet for fortegnsskift – altså når initialinvesteringen er indvundet - bestemmes Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Et eksempel for en investering: ∑ Betaling -100 1 40 2 30 3 50 4 25 5 20 6 ∑ -100 -60 -30 20 45 65 90 Den akkumulerede likviditet skifter fortegn efter 2 + 30/(30 + 20) = 2,6 periode = 2 år, 7 mdr., 1 uge - altså almindelig proportional-/brøkregning Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

4.2. Dernæst den dynamiske model Først beregnes K0-værdien af nettoindbetalingen i den enkelte periode, N Således for den enkelte periode: K0 = NettobetalingN * (1 + r)-N For projektet akkumuleres K0 for de enkelte perioder - for N gående fra 0 og fremad Når den akkumulerede sum af K0, jf. ovenfor, skifter fortegn, registreres det antal perioder, som er gået siden projektets start Dette antal perioder er analysens resultat Også her har investor på forhånd fastsat det maksimale antal perioder til tilbagebetaling af investeringssummen, som kan accepteres for at gennemføre projektet Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Men det er praktisk, almindeligt – og anvendeligt Men den fastsatte tidsgrænse bliver en anden og længere end ved brug af den statiske metode Antallet af perioder anvendes så efterfølgende til at vurdere projektets fordelagtighed, alene eller i sammenligning med andre projekter Hvis (når) det nøjagtige tidspunkt for fortegnsskift for den akkumulerede sum skal fastlægges, anvender man proportional-regning indenfor den enkelte periode Teoretisk set er det jo faktisk forkert at anvende proportionalregning med (1 + r)-N-beregninger som grundlag Men det er praktisk, almindeligt – og anvendeligt Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Et eksempel for den samme investering som foran: Betaling -100 1 40 2 30 3 50 4 25 5 20 6 K0 -100,00 36,36 24,79 37,57 17,08 12,42 14,11 r = 10% Akkum. -100,00 -63,64 -38,84 -1,28 15,80 28,22 42,33 Den akkumulerede likviditet skifter fortegn efter 3 + 1,28/(1,28 + 15,8) = 3,075 periode = 3 år, 3 uger - altså også denne gang almindelig proportional-/brøkregning Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

2,6 periode = 2 år, 7 mdr., 1 uge 3,075 periode = 3 år, 3 uger Opsummering for fortegnsskift: Den statiske metode: 2,6 periode = 2 år, 7 mdr., 1 uge Den dynamiske metode: 3,075 periode = 3 år, 3 uger Konklusion: Det tager længere tid at nå et fortegnsskift for den akkumulerede likviditet, når man anvender den dynamiske frem for den statiske metode Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Ligesom ved anvendelse af Annuitetsmetoden vil Payback-metoden kan også anvendes ved vurdering af Finansieringsforslag Ligesom ved anvendelse af Annuitetsmetoden vil ”Al ting foran” blive ”omvendt” Alle metoder, principper og kriterier være de samme Men man skal selvfølgelig også her lige huske, at modsat at investere, gælder det selvfølgelig nu om at slippe så billigt som muligt, altså med den længste tilbagebetalingstid Det er ikke så ofte, at Payback-metoden bruges på Finansieringsforslag, men det kan altså fint lade sig gøre – hvis metoden passer til problemstilling og foreliggende data Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Så nu mangler jeg blot at sige ”Tak for nu!” Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS