Matematisk modellering

Tillægsspørgsmål Tillægsspørgsmål 1: Redegør for hvad det vil sige at arbejde med en matematisk model – og kom ind på lineær programmering Tillægsspørgsmål 2: Redegør for hvad det vil sige at arbejde med en matematisk model – og kom ind på kvadratisk programmering Tillægsspørgsmål 3: Redegør for hvordan differentialregning kan anvendes i den forbindelse med matematisk modellering Tillægsspørgsmål 4: Redegør for hvordan integralregning kan anvendes til matematisk modellering Tillægsspørgsmål 5: Redegør for forskriften og grafen for en typisk omkostningsfunktion i en produktionsvirksomhed

Disposition Hvad er modellering? Lineær programmering Afskrivninger med den lineære metode Kvadratisk optimering
 Differentialregning ift. modellering Integralregning ift. modellering Parametre for omkostningsfunktionen

Hvad bruges modellering til? 1. fase: Problemformulering Opgaveteksten præsenteres med oplysning af hvilke forhold, der ønskes beskrevet og med de forudsætninger og forenklinger, problemstillingen skal løses i forhold til.

Hvad bruges modellering til? 2. fase: Matematisk model Her oversættes beskrivelsen fra fase 1 til matematik. Beskrivelsen resulterer, i at nogle matematiske værktøjer (ligninger, grafer, funktioner eller lign.) kan komme i spil. Her skal du samtidig sørge for at definere alle de symboler, der benyttes – samt overveje om der fx gælder nogle begrænsninger (denitionsmængde). Hvilke værdier kan x antage? (Produktionen kan fx ikke være negativ). Hvad angiver x, y, f(x) etc.?

Hvad bruges modellering til? 3. fase: Matematiske beregninger Matematikken anvendes til løsning af de opstillede ligninger fra fase 2, tegning af grafer, bestemmelse af toppunkt, skæring mellem to linjer eller lign. Her er det vigtigt, der ikke kan opstå tvivl m.h.t. fx enheder. Det skal fremgå om akserne viser kr., stk. eller dage, hvis der tegnes grafer. Koordinatsystemets enheder skal tilpasses opgaven, så eventuelle grafer viser det, der er relevant, hvilket ofte betyder, at akserne skal være for- skellige.

Hvad bruges modellering til? 4. fase: Konklusion Den matematiske løsning ”oversættes” igen til virkeligheden. Det betyder fx, at alle løsninger skal resultere i et tekstsvar. Man kan ikke konkludere: x = 14; men fx ”prisen bliver på 14 kr.”, ”der skal sælges 14 stole” eller ”der går 14 dage før ...” på samme måde er løsningen ikke korrekt angivet, hvis du skriver, at skærings- punktet er (3, 12). Du skal skrive, hvad punktet viser. En tekstopgave kræver et tekstsvar.

Lineær programmering Hvis vi har en funktion med to variable (x og y) får vi matematisk et problem, da vi så ikke længere kan tegne funktionen på et papir ( i planen). Vi skal nu bruge 3 akser (x, y og z), så hvis der skal tegnes en funktion, skal den tegnes i rummet. Derfor anvender vi metoden linærprogramering Lineær programmering bliver kan "kun" anvendes, hvis vi har to variable (f.eks. en produktion af bukser og trøjer)

LP indeholder 6 punkter (som man skal igennem) Til at begynde med er det en god ide at opstille et skema med de givne oplysninger. 1. Definition. Her noteres, hvad x og y står for i opgaven.  Altså fx x= antal bukser og y= antal trøjer 2. Betingelser. Oplysningerne i skemaet omskrives til uligheder, hvor y isoleres. Husk altid at notere - i tekstopgaver - at x > 0, og y > 0. da vi kun er i 1. kvadrant fordi man ikke kan producere -4 bukser 3. Polygonområde. Ulighederne fra betingelserne tegnes ind i et koordinatsystem. Man angiver tydeligt, hvad der kan bruges - og markerer polygonet. OBS I n-spirre skravere man det man ikke kan bruge.

4. Kriteriefunktion - "Målfunktionen" opstilles som funktion af såvel x som y. f(x,y) ofte karakteriseret som dækningsbidrag eller omkostninger 5. Niveaulinie. - N(0) beregnes. Kriteriefunktionen sættes = 0 og y isoleres. - Med en pil angives tydeligt, i hvilken retning funktionen vokser. 6. Konklusion. - Maksimum - eller evt. minimum - bestemmes ved parallelforskydning af niveaulinien. - Maksimum/minimum markeres tydeligt på polygonet - hvis man kommer i tvivl om hvilket punkt, der er bedst, kan man benytte sig af hjørneinspektion, som gøres ved at sætte x og y ind i kriteriefunktionen f(x,y). - Konklusionen skrives altid med ord

Eksempel

Polygonområde

Følsomhedsanalyse Vha. følsomhedsanalyse kan vi bl.a. afgøre følgende: Hvor meget kan DB for en lommeregner kan ændre sig uden at den optimale produktionssammensætning på 8 stk. lommeregner og 12 stk. telefon skal ændres. (Vi forudsætter, at DB for en telefon er uændret – dvs. 140 kr.) Hvor meget kan DB for en telefon ændre sig uden at den optimale produktionssammensætning på 8 stk. lommeregner og 12 stk. telefon skal ændres. (Vi forudsætter, at DB for en lommeregner er uændret – dvs. 80 kr.)

Optimalpunktet (8,12) er skæringspunktet mellem begrænsningerne for produktionsafdelingen og samleafdelingen – dvs. mellem 𝑦 1 = 𝑎 1 ∙𝑥+ 𝑏 1 =−0,25𝑥+14 som har hældningen 𝑎 1 =−0,25 𝑦 2 = 𝑎 2 ∙𝑥+ 𝑏 2 =−𝑥+20 som har hældningen 𝑎 2 =−1 Så længe niveaulinjens hældning ligger mellem 𝑎 1 og 𝑎 2 ændres optimalpunktet ikke.

Konklusion Det vil sige at dækningsbidraget for lommeregner kan ændre ned til 35 og op til 140 før at (8,12) ikke længere er den optimale løsning Dækningsbidraget for en telefon kan ændre ned til 80 og op til 320 før at (8,12) ikke længere er den optimale løsning

Afskrivninger med den lineære metode

Kvadratisk optimering Kvadratisk optimering kan siges at være en kombination af beskrivelse af virksomhedens overskud/omsætning vha. andengradsfunktioner, samt lineær programmering. Selvom at lineær programmering og kvadratisk optimering langt hen af vejen er det samme, så er kritiefunktionen anderledes. Hvor at niveaulinjerne i lineær programmering er rette linjer, så bliver niveaulinjerne i kvadratisk optimering til cirkler/ellipser

6 punkter Løsningsmodellen til lineær programmering er den samme som til kvadratisk optimering: 1. Definition. Her noteres, hvad x og y står for i opgaven.  2. Betingelser. Oplysningerne i skemaet omskrives til uligheder, hvor y isoleres. Derudover er x > 0, og y > 0. da vi kun er i 1. kvadrant fordi man ikke kan producere -4 bukser 3. Polygonområde. Ulighederne fra betingelserne tegnes ind i et koordinatsystem. Man angiver tydeligt, hvad der kan bruges - og markerer polygonet. OBS I n-spire skravere man det man ikke kan bruge.

4. Kriteriet. "Mål" opstilles, som udtryk af såvel x som y 4. Kriteriet. "Mål" opstilles, som udtryk af såvel x som y. Ved kvadratisk optimering, vil der ofte være tale om to prisfunktioner, hvorved omsætnings- eller dækningsbidragsfunktionerne skal lægges sammen, og man får nogle relationer for cirkler/ellipser. Vær opmærksom på, at ved kvadratisk optimering er der ikke tale om funktioner men relationer! (Til en x-værdi, svarer der flere y-værdier) Lineær prog: F(x,y): ax + by +t Kvad. Optimering: F(x,y) = ax2 + bx + cy2 + dy + e 5. Niveaulinjer. N(0) og/eller N(t) beregnes. Kriteriet sættes = 0/t Med en pil angives tydeligt, i hvilken retning funktionen vokser 6. Konklusion. Maksimum - eller evt. minimum - bestemmes ved parallelforskydning af niveaulinjen.

Muligheder for optimum Ved kvadratisk optimering er der 3 muligheder for optimums placering: 1. Ellipsens centrum ligger inden for polygonområdet 2. Ellipsen/cirklen er placeret sådan, at den ved udvidelse vil ramme hjørnepunktet mellem to linjer. 3. Ellipsen /cirklen ligger sådan, at ved udvidelse så rammer cirkel/ellipsebuen en af linerne. De næste 3 slides viser illustrationer af de 3 forskellige placeringer af optimum, samt hvordan optimum findes.

1. Ellipsens centrum ligger inden for polygonområdet Ved denne er optimum er centrum af cirklen/ellipsen.

2. Ellipsen er placeret sådan, at den ved udvidelse vil ramme hjørnepunktet mellem to linjer. Hvis at ellipsen ved udvidelse vil ramme et hjørnepunkt (altså skæringen af to begrænsninger) så findes optimum i dette hjørnepunkt.

3. Ellipsen ligger sådan, at ved udvidelse så rammer den en af linerne. Hvis at ellipsen ved udvidelse ikke rammer et skæringspunkt, men kun en af begrænsningerne, så ville det præcis røringspunkt være optimum.

Differentialregning ift. modellering Modellering ved differentiering kan være dækningsbidragsfunktion, som er sammensat af en omkostningsfunktion og en omsætningsfunktion. Det vil derfor være muligt at finde det bedste db i forhold til afsætning (x), ved at differentiere funktionen og sætte lig med 0.

Integralregning ift. modellering Fra nationaløkonomiens side, så kan integralregning anvendes til at matematisk beregne gevinsten ved forskellige efterspørgsler og udbud. På de næste to slides forklares to forskellige scenarier hvor Consumer surplus (forbrugeroverskud) og Producer surplus (producentoverskud) beregnes vha. integralregning

Consumer surplus Der er givet en efterspørgselskurve f(x) og udbudskurve g(x), hvor f er prisen pr. enhed og x er mængden i antal enheder. Consumer surplus er det areal, som ligger under efterspørgselskurven og over markedsprisen P0. Arealet opfattes som den gevinst, forbrugerne opnår ved at markedsprisen er P0 og ikke fx a.

Producer surplus Der er givet en efterspørgselskurve f(x) og udbudskurve g(x), hvor f er prisen pr. enhed og x er mængden i antal enheder. Producer surplus er det areal, som ligger over udbudsskurven og under markedsprisen P0. Arealet opfattes som den gevinst, producenten opnår ved at markedsprisen er P0 og ikke fx b.

Omkostningsfunktion i en produktionsvirksomhed Omkostningerne i en virksomhed består af de variable omkostninger lagt sammen med de faste omkostninger. Som funktion af afsætningen kan det skrives: K(x) = V(x) + F(x) En typisk omkostningsfunktion kan beskrives ved hjælp af en 3. grads funktion   K(x) = ax 3 + bx2 + cx + d og denne funktion angiver altså summen af de variable og de faste omkostninger.

Forklaring på funktionen fra et økonomisk perspektiv I starten stiger funktionen meget pga. at det er dyrt at starte en produktion op (i starten er funktionen progressiv, idet omkostningerne stiger forholdsvis mere end afsætningen. Det er dyrt at udvikle nye produkter. Der er ingen rutine, man kan benytte. Produktet skal gennem en udviklingsfase - og medarbejderne skal oplæres). Dernæst bliver virksomheden bedre til at udnytte kapaciteten så grafen bliver degressiv. Man kan udnytte at medarbejderne får mere rutine i arbejdet, lønnen falder stadig indenfor normallønnen (grafen vokser mere i afsætning end i omkostninger). De fejl man lavede i opstartsfasen, er nu blevet rettet til! Til sidst bliver grafen progressiv igen, da virksomheden på et tidspunkt har opnået sin maksimale kapacitet indenfor de rammer (personale, maskiner etc.) den har. Den har ikke kapacitet til en yderligere udvidelse af produktionen uden der bliver tale om overarbejde, dårlig udnyttelse af kapaciteten, nye medarbejdere skal oplæres, stress af personale, leje af lager etc. etc.

Forklaring af parametrenes værdier a: Positiv Værdien a er altid positiv i en omkostningsfunktion, da funktionen er voksende! Vi ved, at a fortæller om 3. gradsfunktionens forløb. a neg. a pos.

b: Negativ Værdien b er altid negativ i en omkostningsfunktion. Dette kan man redegøre for, ved at se på vendetangenten. Vi ved, at alle 3. gradsfunktioner har en vendetangent, og den ligger der, hvor f’’ er lig med nul. Vi kan udlede fortegnet for b ved at se på f’’. K(x) = ax3 + bx2 + cx +d K’(x) = 3ax2 + 2bx +c K’’(x)= 6ax + 2b Da vi ved, der er en vendetangent, ved vi også, at f’’(x) = 0 i dette punkt. Det betyder: 6ax + 2b = 0 6ax er et positivt led, da vi tidligere fandt ud af at a er positiv (og vi ved, der er tale om produktion, der skal være positiv. Dvs. x er positiv). Det sidste led er 2b, hvor vi ved at 2 er positiv. Vi kan derfor konkludere at b må være negativ, da de to led lagt sammen skal give nul. Hvis første led er positivt, skal 2. led nødvendigvis være negativt for at tallene lagt sammen (trukket fra) giver 0!

c: Positiv Værdien c er altid positiv i en omkostningsfunktion. Vi ved, at en omkostningsfunktion er monotont voksende - og derfor ikke har ekstremaer. I matematik er det f’(x), der fortæller om en funktions monotoniforhold. Vi ved derfor, at når funktionen altid er voksende, så må f’(x) > 0.   Der kan argumenteres for fortegnet af c på to måder: (se de næste slides)

1. Differentialkoefficienten K’(x) = 3ax2 + 2bx + c Dette er en andengradsfunktion! Vi ved, at hvis en andengradsfunktion altid skal være positiv eller nul, så gælder at diskriminanten skal være negativ eller nul, så der højest bliver tale om et nulpunkt, der også er toppunktet. Hvis vi kigger nærmere på diskriminanten ved vi, at den almindeligvis for en andengradsfunktion f(x) = ax2 + bx + c beregnes ved følgende formel: d = b2 - 4ac I vores omkostningsfunktion er forskriften for differentialkoefficienten: K’(x) = 3ax2 + 2bx + c Hvis vi sammenligner med den almindelige forskrift gælder her: a=3a b=2b c=c Det betyder, vi får følgende diskriminant: d = (2b)2 - 4 *3ac = 4b2 - 12ac

Når diskriminanten skal være < 0 har vi: 4b2 - 12ac < 0 Da første led sættes i anden ved vi det første led altid må være positivt (2b2 ). Så for at d bliver negativ skal andet led (12ac) også være positiv, da vi ellers får minus noget negativt, dvs. positivt., der skal lægges til. 12ac skal derfor være > 0. Derfor kan vi udlede, at værdien c må være positiv (12ac), for vi ved fra tidligere, at værdien a er positiv.

2. Vi ved, omkostningerne er monotont voksende 2. Vi ved, omkostningerne er monotont voksende. Det betyder K'(x) skal være positiv - eller evt. 0. K'(x) er en parabel, givet ved: K’(x) = 3ax2 + 2bx + c 3a er positiv, så vi ved, grenene vender op. Hvis parablen skal være positiv (eller nul) for alle værdier, ved vi at toppunktet skal ligge på x-aksen eller over x-aksen. Konstant leddet c fortæller, hvor parablen skærer y-aksen. Det led må være positivt, jf. vort kendskab til parablens udseende! (Grene op-toppunkt på eller over x-aksen)

d: Positiv Værdien d er altid positiv, da denne værdi angiver omkostningerne ved en produktion/afsætning på nul stk. Alle virksomheder har altid nogle fasteomkostninger (kapacitetsomkostninger), så d skal være positiv. Konklusion En omkostningsfunktion er givet ved følgende: K(x) = ax3 + bx2 + cx +d Parametrene a, c og d er positive; mens b er negativ