2. gradsfunktioner

2. gradfunktioner Andre navne: 2. gradspolynomium 2. gradsligning ( Når man sætter 0 = ax2+bx+c) Forskrift: y = ax2+bx+c f(x) = ax2+bx+c Udtales: ”f af x” eller ”funktionen af x” er … Afbilledes i et koordinatsystem som en parabel.

Hvornår bruges den? Parachute Paraply Parabol Visse elementer eller situationer fra vores hverdag kan matematisk beskrives som en 2. gradsfunktion og som en parabel. Parachute (= faldskærm) Paraply Parabol

Et par eksempler på brug af 2. gradsfunktionen og parabelen 1) Broer, akvadukter mm.

Et par eksempler på brug af 2. gradsfunktionen og parabelen 2) Kast, stød og skud fra sportens verden

Et par eksempler på brug af 2. gradsfunktionen og parabelen 2) Kast, stød og skud fra sportens verden

Et par eksempler på brug af 2. gradsfunktionen og parabelen 3) Vandstråle i springvand mm.

Et par eksempler på brug af 2. gradsfunktionen og parabelen 4. Moderne bygningsværker

Den lineære funktion og 2. gradsfunktion Selvom 2. gradsfunktionen beskriver nogle andre situationer end den lineære funktion (1. gradsfunktionen ), er der et par enkelte elementer de har til fælles. Den lineære funktion: y = ax+b 2. gradspolynomiet: y = ax2+bx+c

Parablen Billedet af 2. gradsfuntionen bliver en parabel. Parabelen har 2 grene – og en symmetriakse (spejlingsakse) midt mellem disse 2 grene. I dette tilfælde er det y-aksen. Det er det altså langt fra altid! Punktet, hvor grenene starter, kaldes toppunktet. I dette tilfælde er toppunktet i (0,0). Det er det altså langt fra altid!

a y = ax2+bx+c Hvis a> 0 (hvis a er større end 0) Så vender parablens grene opad – smiler til dig. Jo større a er, jo mere opad vender grenene ”Jo større a er, jo gladere er smilet” y = 1·x2 y = 2·x2 y = 0,5·x2 y = 0,25·x2

a y = ax2+bx+c Hvis a< 0 (hvis a er mindre end 0) Så vender parablens grene nedad – lavet ”ked-af –det-mund” Jo mere negativt a er, jo mere vender grenene nedad ”jo mere negativ a er, jo mere negativ er munden” y = -2·x2 y = -1·x2 y = - 0,33·x2 y = - 0125·x2

a y = ax2+bx+c … og når ”a” er et positivt tal, så vender grenene opad! (parabelen er glad for, at det er positivt; mundvigene opad) … når ”a” er et negativt tal, så vender grenene nedad! (parabelen er ked af, at det er negativt; mundvigene nedad)

Øvelse 1 Hvad kan man sige om a ud fra disse parabler? 1. 2.

Øvelse 2 Hvilken af disse to parabler har en a-værdi, der er tættest på 0?

C y = ax2+bx+c C fortæller, hvor parablen skærer y-aksen Parablen skærer y-aksen i punktet (0,c) Altså hvor x = 0 og y = c

Eksempler skæring med y-aksen y = ·x2 + 2·x + 0 Skærer y-aksen i (0, c) (0, 0) y = 1·x2 - 2·x – 3 Skærer y-aksen i (0,-3) y = -1·x2 + 2·x + 4 Skærer y-aksen i (0,4)

Øvelse 3 Hvor skærer disse parabler y-aksen?

b y = ax2+bx+c b angiver hældningen for tangenten til parablen i punktet hvor x=0 - Altså der hvor parablen skærer y-aksen. Denne hældning kan vi ikke aflæse præcist, men en tegning af tangenten kan fortælle os, om b er positiv eller negativ. Eks. f(x) = 2x2 + 3x+2 Tangenten= g(x) g(x) = 3x + 2 Man kan aflæse på tangenten, at den er positiv

2 eksempler, hvor b er …

Opgave 4 Beskriv, hvordan det vil se ud, hvis parablens tangent i har en negativ hældning

Hvad kan man beregne ved en 2.gradsfunktion? Hvor skærer parablen x-aksen? Hvis den overhovedet skærer x-aksen? 2) Hvor er parablens spejlingsakse? 3) Hvor har parablen sit toppunkt? 4) De øvrige ting, man kan beregne er gymnasiestof.

Diskriminanten, D D = b2- 4ac For at kunne beregne noget omkring en 2.gradsfunktion, skal vi benytte os af diskriminanten, D. D = b2 - 4ac D er et hjælpetal (Hvordan d er blevet fundet, vil jeg ikke komme ind på her. Det er gymnasiestof.)

Diskriminanten, D D = b2- 4ac Hvis b > 0 (større end 0) Så skærer parablen x-aksen 2 steder -> Der er 2 løsninger på 2.gradsligningen Hvis b = 0 (lig med 0) Så skærer parablen x-alsen 1 sted - > Der er 1 løsning på 2. gradsligningen. Hvis b < 0 (mindre end 0) Så skærer parablen ikke x-aksen på noget tidspunkt –> Det er ikke nogle løsninger på 2. gradsligningen.

Eksempel 1 på beregning af D f(x) = 2x2+3x+4 a= 2 b=3 c=4 D = b2 - 4ac D = 32 - 4• 2 • 4 (indsæt tal i stedet for bogstaver) D = 9 – 32 D = -23 Da d er mindre end 0 ved vi nu, at parablen ikke skærer med x-aksen og at 2. gradsligningen 0 = 2x2+3x+4 ikke kan løses.

Eksempel 2 på beregning af D f(x) = 3x2+4x+0,5 a= 3 b=4 c=0,5 D = b2 - 4ac D = 42 - 4• 3 • 0,5 (indsæt tal i stedet for bogstaver) D = 16 – 6 D = 10 Da d er større end 0 ved vi nu, at parablen skærer med x-aksen 2 steder og at 2. gradsligningen 0 = 3x2+4x+0,5 har to løsninger .

Hvor skærer parablen x-aksen? De 3 trin: Lav 2. gradsfunktionen om til en ligning (sæt funktionen lig 0) 0 = ax2+bx+c Beregn d D = b2- 4ac Find x-værdierne for parablens skæring med x-aksen.

3) x-værdierne for parablens skæring med x-aksen. Man løser ligningen 0 = ax2+bx+c via denne formel X = -b ± √D 2 •a Dette kaldes også at finde rødderne

Eksempel 1 på beregning af skæringerne med x-aksen f(x)=2x2-3x+1 1) Lav om til en ligning: 0= 2x2-3x+1 2) Find D. D = b2 - 4ac D = (-3)2 - 4•2•1 D = 9 – 8 D = 1 Da D > 0 -> der er 2 rødder

Eksempel 1 på beregning af skæringerne med x-aksen 3) Find skæring med x-aksen X = -b ± √D 2 •a X = -(-3) ± √1 2 •2 X = 3 + √1 v X = 3 - √1 v betyder ”og” 4 4 X = 4 v X = 2 4 4 X = 1 v X = 0,5 Skæringen med x-aksen bliver altså i (1 ; 0) v (0,5 ; 0)

Eksempel 1 på beregning af skæringerne med x-aksen f(x)=2x2-3x+1 Skæringen med x-aksen bliver altså i (0,5 ; 0) v (1 ; 0)

Spejlingsakse Andre navne: symetriakse