Begrebskort for lineære differentialligningsmodeller validering af modellen 23 2-kompartments- model 1 system af 2 lineære difflign. 23 teori 2 6 23 3 begyndelses- og parameterværdier 5 7 måledata/ empiri 4 9 det karakteristiske polynomium 10 8 egenværdier 19 anvendelse af modellen nulhældnings- kurver 11 13 12 ligevægtsløsning 21 20 22 16 faseplan og hældningsfelt analytisk løsning 14 numerisk løsning 17 18 stabilitet 15 banekurve

Hvis f=g=0 er systemet homogent. 2-kompartments- model 1 system af 2 lineære difflign. En kompatsmentsmodel med to kompartments kan matematiseres med et system af to koblede lineære differentialligninger, hvis alle strømme ind og ud af hvert kompartment er proportionale med et af de to størrelser eller uafhængige af dem. Et system af de to koblede lineære differential-ligninger med konstante koefficienter har generelt formen: x’ = ax + by + f y’ = cx + dy + g Hvis f=g=0 er systemet homogent.

2-kompartments- model 2 begyndelses- og parameterværdier 2. Kompartmentmodellen definerer systemets variable og dermed systemets begyndelsesværdier samt systemets parametre.

3. For et system af to koblede homogene differentialligninger: af 2 lineære difflign. 3. For et system af to koblede homogene differentialligninger: x’ = ax + by y’ = cx + dy defineres det karakteristiske polynomium: p(z) = z2 – (a+d)z + (ad-bc) 3 det karakteristiske polynomium

Ligevægtsløsningerne findes ved at løse ligningssystemet: x’=0 y’=0 af 2 lineære difflign. Ligevægtsløsningerne findes ved at løse ligningssystemet: x’=0 y’=0 Hvis de to differentialligninger ikke er proportionale, dvs. hvis ad bc, er der netop én ligevægtsløsning. Hvis systemet er homogent er ligevægtsløsningen x(t)=0 og y(t)=0. Ellers findes ved løsning af to ligninger med to ubekendte. 4 ligevægtsløsning

system af 2 lineære difflign. 5 nulhældnings- kurver 5. Giver to retliniet nulhældningskurver, der findes af henholdsvis x’=0 og y’=0.

system af 2 lineære difflign. 6 begyndelses- og parameterværdier 6. Gør det muligt at finde en bestemt løsning til systemet, der opfylder begyndelsesbetingelserne.

begyndelses- og parameterværdier 7 måledata/ empiri 7. Begyndelsesbetingelser og parameterværdier kan ofte estimeres/udledes ud fra måledata eller anden empiri.

det karakteristiske polynomium 8 egenværdier 8. har egenværdierne som rødder. Egenværdierne (rødderne) kan være reelle eller komplekse.

9. kan udtrykkes ved hjælp af parameterværdierne. begyndelses- og parameterværdier 9 egenværdier 9. kan udtrykkes ved hjælp af parameterværdierne.

10. egenværdierne kan evt. estimeres ud fra måledata. empiri 10 egenværdier 10. egenværdierne kan evt. estimeres ud fra måledata.

11. egenværdierne kan bruges til at karakterisere den 11. egenværdierne kan bruges til at karakterisere den kvalitative opførsel af hældningsfeltet i faseplanen, jf. de fem typer der er beskrevet i noterne. egenværdier 11 faseplan og hældningsfelt

12. bestemmer sammen med ”egenvektorerne” den 12. bestemmer sammen med ”egenvektorerne” den fuldstændige løsning til systemmet. Hvis der er to forskellige egenværdier,  og , har den fuldstændige løsning formen: x(t) = c1 r et + c2 u et y(t) = c1 s et + c2 v et hvor (r, s) passer i ligningerne: ax + by= x og cx + dy= y, og (u,v) i ligningerne: ax + by=  x og cx + dy=  y egenværdier 12 analytisk løsning

13. egenværdierne afgøre stabiliteten af. ligevægstsløsningen 13. egenværdierne afgøre stabiliteten af ligevægstsløsningen. Hvis egenværdierne begge er negative (eller har negativ realdel i tilfælde de er komplekse) er ligevægtsløsningen stabil. I alle andre tilfælde er den ustabil. egenværdier 13 stabilitet

14. Ligevægtsløsningen er stabil, hvis systemets tilstand 14. Ligevægtsløsningen er stabil, hvis systemets tilstand forbliver tæt på ligevægtstilstanden for enhver lille forskydning væk fra ligevægten. ligevægtsløsning 14 stabilitet

15. En ligevægtsløsning har et punkt som banekurve i faseplanen.

16. Analytiske løsninger giver mulighed for 16. Analytiske løsninger giver mulighed for at beregne løsningskurver, der kan sammenlignes med måle data. måledata/ empiri 16 analytisk løsning

Analytiske løsninger kan afbildes som banekurver, dvs Analytiske løsninger kan afbildes som banekurver, dvs. punkter af sammenhørende værdier (x(t),y(t)). analytisk løsning 17 banekurve

18. Banekurver kan afbildes i faseplanen, og vil da 18. Banekurver kan afbildes i faseplanen, og vil da overalt tangere hældningsfeltet. De kvalitativt forskellige banekurver, der kan forekomme, udgør til sammen et faseportræt af ligningssystemet. faseplan og hældningsfelt 18 banekurve

begyndelses- og parameterværdier 19 19. giver grundlag numerisk beregning af løsninger til specifikke begyndelsesværdier. numerisk løsning

20. Nulhældningskurverne kan afbildes som rette 20. Nulhældningskurverne kan afbildes som rette linier i faseplanen, og vil skære henholdsvis lodrette (x’=0) og vandrette (y’=0) tangenter i hældningsfeltet. nulhældnings- kurver 20 faseplan og hældningsfelt

21. Ved hjælp af numeriske metoder (MatLab) kan 21. Ved hjælp af numeriske metoder (MatLab) kan man beregne løsninger for forskellige begyndelses- betingelser og parameterværdier. Hermed kan modellen anvendes til at analyse forskellige situationer i det virkelige system. anvendelse af modellen 21 numerisk løsning

22. Numeriske løsninger kan. sammenlignes med måledata og evt 22. Numeriske løsninger kan sammenlignes med måledata og evt. give grundlag for at fitte parameterværdier til data. måledata/ empiri 22 numerisk løsning

validering af modellen 23 2-kompartments- model teori 23 måledata/ empiri 23. Modellens validitet (gyldighed) må vurderes i forhold til hvad den skal bruges til, overensstemmelse med måledata samt dens teoretiske grundlag. anvendelse af modellen