At beregne kolesterolniveauet i mennesker

Kolesterolniveauet hos et enkelt menneske, kan udregnes ved følgende differentialeligning: Foreslået af forfatterne af bogen Differential Equation (Blandchard et. al., 1997)

Parametre k1 – (produktionsparameteret) er en parameter som måler hvor hurtigt individets krop reagere på afvigelsen i kolesterolniveauet fra det naturlige kolesterol. L - er individets naturlige kolesterolniveau, som vil forekomme hvis personen fik en kost, som ikke indeholdte fede syrer. C - er individets kolesterolniveau

Parametre (L-C) - er et udtryk for individets aktuelle kolesterolniveau. k2 – (absorptionsparameteret) er en parameter som måler hastigheden hvormed individets krop producerer kolesterol fra den indtagne mad. E - er individets kolesterol indtagelse

Leddenes betydning (k1(L-C)) - hvor meget kolesterolniveauet afviger fra det naturlige, og hvor hurtig kroppen er til at reagere på dette. k2E - hvor meget kroppen har produceret af kolesterol ud fra den indtagne mængde af kolesterol

Løsning af Differentiallignignen Løsning af ligning: Denne ligning kan løses vha. sætning 3 (Mat 3, kap 1) ’ Altså:

Bent & Børge Vi kigger på to enæggede tvillinger og deres indtagelse af kolesterol. De har begge spist samme kost indtil en af dem (Bent) flytter hjemmefra. Bent er en travl studerende og aftensmaden spises på den lokale grillbar. Vi ved om begge tvillinger: L = 140 mg/dag k1 = 0,1/dag k2 = 0,05/dl

Bent Han flytter hjemmefra stiger hans kolesterolindtag (E) til 250 mg/dag Da vi ved at Bents kolesterol niveau er 180 da han begynder at spise på grillen: C(0) = 180 mg/dag

Bent Ved at sætte Bents værdier ind i den generelle løsning til differential ligningen får vi: Bents startværdi [C(0) = 180] sættes ind: 

Bent Ved at indsætte t= 365 finder vi Bents kolesterol tal efter et år: Grafen for C(t) har en vandret asymptote y = 265. Bents kolesteroltal kan højest blive 265.

Børge Børge arbejder også deltids og er studerende på det lokale universitet. Børge har dog valgt at fortsætte livet hjemme hos mor, hvor han Fortsætter med at spise mors mad. L = 140 k1 = 0,1 k2 = 0,05 E = 80

Børge Vi antager at C(t) = 180 Vi kan nu ved brug af separation af de variable løse differential- ligningen, som tidligere vist for vi: Vi antager at C(t) = 180 Denne løsning virker rimelig, da dette betyder at han netop indtager det kolesterol plejer. Hvilket vil sige, at hans kolesteroltal hverken stiger eller falder.

Generel analyse af modellen Formlen kan omskrives på denne form: M er her givet ved: Da L, E, k1 og k2 vil alle være positive (E kan også blive 0), pga. deres biologiske betydning. Dette betyder at M altid vil ligge i intervallet [0;∞[

M for Bent og Børge M beregnes for de to tvillinger: Børge: Bent:

C(t) C(t) kan skrives på denne måde: ↕

Grænse værdier Der er altså en grænse for hvor højt et kolesterolniveau et menneske kan have, dette niveau afhænger dog af mængden af kolesterol i kosten og det enkelte menneske.