Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/
Session 1. Sekvenser Diskrete systemer Lineære systemer Foldning Lineære tidsinvariante systemer
Kontinuerte vs. diskrete tidssignaler Tidskontinuert signal (Analog) Tidsdiskret signal (Digitalt) Sampling Analogt system A/D komverter DSP (Digital signal processer)
Digitale signaler hvor? …og meget mere
Fysiologiske signaler Kardiologiskesignaler EEG
Typiske Digitale systemer ADC DSP DAC 010101011 110001011 Analogt signal Analog til Digital konvertering Digital signal processor Digital til analog konvertering Analogt signal ADC DSP Filter Puls tæller Display Puls: 61 Eksempel EKG baseret plustæller
definition og notation: Signal Signal er enhver tids varierende eller rum varierede kvantitet Tids variable: x(t) Dimension: x(d1,d2)
Matematisk definition og notation: Tidsdiskret signal Funktion af en diskret tids variabel Signalet repræsenteres som en sekvens af nummer x[n], -∞ < n < ∞ Hvor n er et heltal F.eks. x[0]=1, x[1]=1, x[2]=-2 Relation til analogt signal x[n]=x(nT) , -∞ < n < ∞ Hvor T er samplings perioden T N.B. Ved et Digitalt signal er amplituden også diskret
Eksempel på sampling Se Matlab demo
Basis signaler: Unit sample og Unit step
Basis signaler: Exponential (real) Stigende hvis α>1 Faldende hvis α<1
Basis signaler: Sinus ω0: frekvens rad/sample Φ: fase
Periodiske signaler Et signal er periodisk med N hvis x[n]=x[n+N], hvor N er et heltal Et sinus signal er periodisk hvis Hvor Hvor både N og k er heltal
Diskrete sinus signaler For sinus signaler gælder at Højeste svingningshastighed opnås ved ω0=π eller ω0=-π og det interessante frekvens interval er -π ω0 π Se Matlab Demo
Session 1. Sekvenser Diskrete systemer Lineære systemer Foldning Lineære tidsinvariante systemer
Tidsdiskrete systemer Defination: Transformation eller operation af et tidsdiskrete input x[n] til et tidsdiskrete output y[n] Eksempler: Filtrer Operatorer Multiplications system
Det ideelle delay system y[n]=x[n-n0] hvor n0 er delay’et er repræsenteret ved et heltal
Moving average system
Systemkarakteristika Hukommelesesløst: Y[n] er kun afhængig af x[n] Akkumulator Akkumulator
Session 1. Sekvenser diskrete systemer Lineære systemer Foldning Lineære tidsinvariante systemer
Lineært system
Lineært system Additiv egenskab: X1[n] T{∙} X2[n] X1[n] T{∙} X2[n]
Lineært system Skalerings egenskab x X1[n] T{∙} a x X1[n] T{∙} a
Lineært system Defineret ud fra superposition
Eksemple y[n]=x[n]^2 Test: Additiv egenskab x1[1]=2 og x2[1]=6
Tidsinvariante systemer Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit tid (Koefficienterne er uafhængig af tid) Det vil sige hvis x2[n]=x1[n-n0] så er y2[n]=y1[n-n0] Det samme i går, i dag, i morgen og om 1000 år 70 år 45 år 20 år Ikke tidsinvariant system
Kausalitet Et kausalt system kun afhængig af input fra fortid og nutid. y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor nn1 Kausalt system (Bagudrettet difference) Ikke Kausalt system (Forudrettet difference)
Stabilitet Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset Bounded input Bounded output (BIBO) Givet
Unit sample egenskaber Alle signaler kan udtrykkes som en sum af vægtede og forskudte Unit samples Side 11 Oppenheim
Impuls respons T{∙} Side 23 Oppenheim
Session 1. Sekvenser diskrete systemer Lineære systemer Foldning Lineære tidsinvariante systemer
Impulsrespons og Lineære tidsinvariante systemer (LTI) Hvis vi antager T{∙} som er lineær kan vi bruge superposition Hvis vi antager tidsinvarians Side 23 Oppenheim
Folding (Convolution) Foldings sum Generel notation Side 23 Oppenheim
Folding: eksample
Regneregler for foldning Foldning er kommutativ Derfor Foldning er distributiv med hensyn til addition Side 29 Oppenheim
Session 1. Sekvenser diskrete systemer Lineære systemer Foldning Lineære tidsinvariante systemer
LTI egenskaber: Serielle systemer H1[n] H2[n] x[n] y[n] Impuls responsen for en serie af LTI systemer svare til foldning af impuls responserne fra disse systemer da: H1[n]*H2[n] x[n] y[n] Side 29 Oppenheim
LTI egenskaber: Serielle systemer (kommutativitet) På grund er kommutativitet er rækkefølgen af systemerne ligegyldig H1[n] H2[n] x[n] y[n] H2[n] H1[n] x[n] y[n] Obs! pas på i den virkelige verden Side 29 Oppenheim
LTI egenskaber: Parallelle systemer Impuls responsen for parallelle LTI systemer svare til addering af impuls responserne fra disse systemer. Side 30 Oppenheim
LTI egenskaber: Stabilitet og impuls responsen Et LTI system er stabilt hvis og kun hvis
LTI egenskaber: FIR systemer Finite impulse response (FIR) Endelig antal nonzero samples i impulsresponsen Altid stabilt så længe værdierne i impuls responsen er endelige
LTI egenskaber: IIR systemer Infinite impulse response (IIR) Uendelig antal nonzero samples i impulsresponsen Kan være både stabilt og ustabilt Eksempel på et stabilt system
LTI egenskaber: Kausalitet og impuls responsen Et LTI system er kausalt hvis og kun hvis Ikke kausal impulsrespons Spejling af impulsresponsen til venstre (n=0)
Eksempler på impulsresponser Ideelle delay system y[n]=x[n-n0] Stabilt ? Ja Kausalt? Ja hvis n0≥0
Eksempler på impulsresponser Moving average system Stabilt ? Ja Kausalt? Kun hvis -M1≥0 og –M2≥0
Eksempler på impulsresponser Akkumulator Stabilt ? Nej Kausalt? Ja
Inverse systemer
Session 1. Sekvenser diskrete systemer Lineære systemer Foldning Lineære tidsinvariante systemer