Geometri
Geometriens domæner Form og Funktion Kurver i planen og i rummet Flader i rummet Generaliseringer
Aarsrapportering Geometrigruppen : 4 VIP, 2 Ph.D studerende Publikationer 2002 : Publ Idé, metode, vision : 3 eksempler i) Scroll kompressoren ii) Protein strukturmål iii) Minimalflader
Scroll Kompressoren
Leon Creux (1905) Opfundet af Leon Creux i 1905 (som en maskine) er først bragt til at virke i 80’erne som en kompressor.
Scroll Kompressoren Spiralernes sider er cirkelafviklere. Opgave: Find andre spiraler så kompressionen øges. Find den optimale spiral. Rumfanget af yderste kammer giver slagvolumenet, forholdet mellem rumfanget af yderste og inderste kemmer giver kompressionen. Fordele: Få bevægelige dele, let at afbalancerer. Kompressionen er fin til air-condition men for lille til køling og frysning. Danfoss ønskede at ændre designet så kompressionen blev større, og dernæst at finde den bedste måde at gøre dette på.
Observationer De to spiraler føres ved spejling i et passende punkt over i hinanden. Under cirkelbevægelsen er ydersiden af den ene spiral indhyllingskurven for indersiden af den anden. Konklusion: Kendskab til én side bestemmer begge spiraler. …
Løsning j: tangentdrejning. r: krumningsradius. Den naturlige ligning: r = r(j) Alt kan nu udregnes eksakt på lukket form.
Optimeringsproblem Givet kompressionen, størrelsen og den minimale tykkelse af spiralerne. Bestem én side r=r(j), radius i cirkelbevægelsen og spejlingspunktet så slagvolumenet bliver maksimeret. Dette er et kvadratisk programmeringsproblem med lineære sidebetingelser. Objektfunktionen er kvadratisk i de variable. Betingelserne er lineære -> et let optimeringsproblem.
Eksempler …
Protein struktur mål
(Minimal)flader
Minimalflader Lokal konstruktion Laplace analyse Varmeledning, Brown’ske bevægelser
Minimale net
Skum
Skum-geometri
Alu-skum
Dobbel-Bobler