Induktionsbevis AM 2010
INDUKTION – generalisering ud fra specialtilfælde Eks. I Fremskrivningsformlen ved en fast vækstrate r pr. trin. Startværdi = bVærdi efter n fremskrivninger = K n K 1 = b + r b = (1 + r) b K 2 = (1 + r) K 1 = Man fremskriver ved at gange med (1 + r) K 3 = (1 + r) K 2 = Generalisering: tror vi da (1 + r) (1 + r) b =(1 + r) 2 b (1 + r) (1 + r) 2 b =(1 + r) 3 b Eks. II 2 2 = = 2 2 Generalisering: K n = (1 + r) n b addition, multiplikation og potensopløftning er samme operation..... nej, vel
Sætning Lad P n, n N være et udsagn, så gælder: P 1 er sand (P n P n+1, n N ) P n er sand n N ”Oversat”: 1.HVIS en påstand gælder på 1. trin OG 2.HVIS påstanden gælder på trin n, så kan man vise, at det også gælder på næste trin (n+1) SÅ gælder påstanden for alle naturlige tal n
Trin 1 Trin n Trin n+1
Trin 1 Trin n Trin n+1 Trin 2 Trin n+2
Bevismetoden INDUKTION Vis, at sætningen gælder for n = 1 Vis, at sætningen gælder for n = 1 Antag, at sætningen gælder for n og vis, så, at den dermed også gælder for n+1 Antag, at sætningen gælder for n og vis, så, at den dermed også gælder for n+1
= K 0 (1 + r) 1 Sætning: K n = K 0 (1+r) n n=1: n=1: K 1 = K 0 +r K 0 = K 0 (1 + r) Reglen gælder altså ved et starttrin på 1 Antag at er sandt for et trin n Antag at K n = K 0 (1+r) n er sandt for et trin n K n+1 = K n (1 + r) = (1 + r) = K 0 (1+r) n (1 + r) = = K 0 (1+r) n+1 dvs. at sætningen dermed også gælder for n+1 Da de to betingelser i induktionsbeviset er opfyldt, gælder sætningen altså for alle n N Potensregel P1
(x)’ = 1 Sætning: (x n )’ = n x n-1 n=1: n=1: (x 1 )’ = (x)’ = 1 x 0 Reglen gælder altså ved et starttrin på 1 Antag at (x n )’ = n x n-1 er sandt for et trin n Antag at (x n )’ = n x n-1 er sandt for et trin n (x n+1 )’ = (x x n )’ = 1 x n + x n x n-1 = 1 x n + n x n = (1+ n) x n = dvs. at sætningen dermed også gælder for n+1 Da de to betingelser i induktionsbeviset er opfyldt, gælder sætningen altså for alle n N Man kan med en anden metode vise, at (x a )’ = a x a-1 Man kan med en anden metode vise, at (x a )’ = a x a-1 for a R Produktreglen (n + 1) x n 1 x 1-1