Königs uendelighedslemma Satz 6. Lad Π1, Π2, Π3, … være en tællelig uendelig følge af ikke-tomme, endelige, indbyrdes disjunkte punktmængder, og lad G være en graf med deres foreningsmængde som punktmængde. Hvis hvert punkt i Πn+1 har en nabo i Πn for alle n, så har G en en-vejs uendelig vej P1P2P3… , hvor Pn ligger i Πn for alle n.

Satz 1, 2 & 3 Både punkt- og kantmængden i en sammenhængende, lokalt endelig graf er endelig eller tælleligt uendelig En lokalt endelig graf består af sammenhængskomponenter, der hver har endeligt eller tælleligt uendeligt mange punkter og kanter En sammenhængende, uendelig og lokalt endelig graf har en uendelig vej begyndende i et vilkårligt punkt

Anvendelser 1: stamtræer Hvis menneskeheden ikke uddør, vil der være et nulevende menneske, der får en uendelig følge af efterkommere Hvis menneskeheden ikke uddør, vil der være en nuværende kvinde, der får en uendelige følge af kvindelige efterkommere

Anvendelser 2: Heine-Borel En delmængde af Rn er kompakt, hvis og kun hvis den er lukket og begrænset Det lukkede interval [0,1] er kompakt Flere beviser, der bruger lemmaet König viser: Givet lukket delmængde E af [0,1] og overdækning I af E bestående af åbne intervaller. Så findes et n, så når [0,1] deles i 2n lige lange intervaller, vil ethvert af disse, der indeholder et punkt fra E, være indeholdt i et interval fra I

Anvendelser 3: van der Waerden König viser, at følgende er ækvivalente: 1)Givet naturlige tal l og k. Så findes et N, så hvis {1, 2, … , N} deles i k dele, vil én af disse indeholde en aritmetisk progression af længde l 2)Givet naturlige tal l og k. Hvis de naturlige tal deles i k mængder, vil én af disse indeholde en aritmetisk progression af længde l

Ramsey’s Sætning for uendelige grafer Givet en tælleligt uendelig komplet graf, hvis kanter er farvet med to farver. Så findes en uendelig komplet delgraf, hvis kanter alle har samme farve Kan generaliseres til flere farver, og til farvning af delmængder af anden størrelse end 2

Stilen i endelig Ramsey-teori Givet k og l, så findes et tal n, så enhver komplet graf Kn hvis kanter er farvet med to farver, rød og blå, enten indeholder en rød Kk eller en blå Kl Diverse generalisationer

Checkliste fra Bondy & Murty 1 Graf Komplet graf Kn Todelt graf, komplet todelt graf Km,n Vej, kreds, længde af disse Sammenhængende graf

Checkliste fortsat Planar graf, plan graf Summen af valenserne i en graf er …? Isomorfi, automorfi Kantgraf Digraf