2. gradspolynomier og parabler NB! Diasshowet skal afspilles! Rikke Juel Enemærke & Anne Grethe Mølgaard Sct. Knuds Gymnasium & HF - Marts 2005

Grundparabler Def. En grundparabel Pa er grafen for fa(x) = ax2, hvor a0 - til enhver a-værdi  0 hører altså en grundparabel Eks. f1(x) = x2 f3(x) = 3x2 f-2(x) = -2x2

Grundparabler (fortsat) Egenskaber ved grundparabler 1 Pa er symmetrisk om linien x = 0 (2.aksen) fa er en lige funktion, dvs. fa(-x) = fa(x) 2 Pa har (0,0) som toppunkt (vendepunkt) uanset værdi af a fa(0) = a02 = 0, og iflg. 1. er dette punkt toppunkt 3 Pa har fa har samme fortegn som a, da x2 0 4 Pa bliver stejlere jo større |a| er

Parabler & 2.gradspolynomier Def. En parabel P er en parallelforskydning af grafen for fa(x) = ax2, dvs en parallelforskydning af en grundparabel. Def. Et 2.gradspolynomium er en funktion med forskriften f(x) = ax2 + bx + c, hvor a, b og c er konstanter og a  0. Sætn. 1 f(x) = ax2 + bx + c er et 2.gradspolynomium  grafen er en parabel med toppunkt , d := b2 – 4ac T( , ) -b 2a -d 4a

. En parabel med toppunkt i (h,k) er graf for. 2. gradspolynomiet  En parabel med toppunkt i (h,k) er graf for 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c Toppunktet (h,k) = Tag en tilfældig grundparabel pa(x) 2 4 6 8 10 -6 -4 -2 O pa(x) = ax2 Parallelforskyd grundparablen i retningen (h,k), idet du først forskyder den h i 1. aksens retning k g(x) h(x) og derfra k i 2. aksens retning h Fortsættes

Vælg et tilfældigt punkt på h-grafen og marker dets koordinater på akserne Marker g(x) og overvej, hvilken sammenhæng der er mellem h(x) og g(x) h(x) h(x) = g(x) + k 2 4 6 8 10 -6 -4 -2 O k er en vandret parallel-forskydning af et punkt (x1,y1) på grundparablen – marker dette punkts 1.koordinat x1 Punktet (x,g(x)) x h(x) g(x) pa(x) = ax Hvad er sammenhængen mellem x1 og x og mellem g(x) og y1? y1 g(x) (x1, y1) (x, g(x)) x1 x1 = x – h y1 = g(x) – udnyt, at (x1,y1) ligger på grundparablen Bestem y1 y1 = pa(x1) = ax12 Fortsættes

Fortsættes Benyt disse (røde) resultater til at bestemme h(x) h(x) = g(x) + k x1 = x – h g(x) = y1 y1 = pa(x1) = ax12 h(x) = g(x) + k  h(x) = y1 + k  h(x) = ax12 + k  h(x) = a(x-h)2 + k  h(x) = a(x2 -2hx + h2)+ k  h(x) = ax2 -2ahx + ah2+ k  Benyt kvadratsætning Overvej, at h(x) altså er et 2.gradspolynomium h(x) = ax2 -2ahx + ah2+ k  Altså er en funktion, der har en parabel som graf, f(x) = ax2 + bx +c, hvor et 2. grads polynomium b = -2ah og c = ah2 + k Så er den ene del klaret, og vi mangler bare at fastlægge toppunktet Fortsættes

 Toppunktets koordinater p(x) = ax2 + bx + c Toppunktet h(x) b = -2ah c = ah2 + k 2 4 6 8 10 -6 -4 -2 O k Angiv koordinaterne for toppunktet T på h(x)-grafen T pa(x) = ax2 T = (h,k) g(x) Benyt ligningerne fra sidst til at bestemme h og k h b = -2ah  c = ah2 + k  k = -ah2 + c      d= b2 – 4ac

 Grafen for 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c er en parabel med toppunkt d:= b2 – 4ac h(x) 2 4 6 8 10 -6 -4 -2 O Som vi så tidligere er parabler netop grafer for funktioner af typen h(x) = a(x-h)2 + k, hvor (h,k) er toppunktets koordinater x h(x) k g(x) pa(x) = ax y1= ax12 = a(x-h)2 (x1, y1) Øvelsen går altså ud på at vise, at ethvert 2.gradspolynomium kan omskrives til den form med x1 = x - h h = k = og

. Haves: p(x) = ax2 + bx + c , d:= b2 – 4ac  Haves: p(x) = ax2 + bx + c , d:= b2 – 4ac Ønskes: p(x) = a(x-h)2 + k , og Idé: Indsæt de fundne udtryk for h og k i Ønskes, og se efter en række udregninger om du får det samme som Haves. (Du regner ”baglæns” og håber på det bedste…) a(x-h)2 + k = Kvadratsætning Kvadrat på brøk Gang a ind og forkort Sæt de sidste to led på fælles brøkstreg ax2 + bx + c Indsæt d Reducer og forkort

Summa summarum ( , ) Hermed er vist, at grafen for 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c, a  0 er en parallelforskydning af grundparablen i retningen (h,k)= og altså en parabel med toppunktet , d= b2 – 4ac ( , ) -b 2a -d 4a

Tegning af parabler Fortsættes Sætn. 2 For en parabel gælder, at hvis man går 1 til højre fra toppunktet, skal man gå a op, derfra 1 til højre og 3a op, derfra 1 til højre og 5a op osv. Bevis: Da en parabel med ligningen y = ax2 + bx + c er en parallelforskydning af grundparablen y = ax2, er det nok at vise, at tegneanvisningen gælder for denne, idet punktet (0,0) i grundparablen forskydes over i toppunktet for den almene parabel. Fortsættes

O De ulige tal 1, 3, 5 osv. Vi skal vise, at y = (2n +1)a y = ax2 Vi skal vise, at y = (2n +1)a 2 4 6 8 10 -4 -2 O a(n+1)2 y = a(n+1)2 – an2 = y an2 a(n2 + 2n+1) – an2 = n n + 1 a(2n+1)

2.gradsligningen ax2 + bx +c = 0, a  0 Benyt, at vi fra tidligere ved, at ax2 + bx +c = ax2 + bx +c = 0  d<0: Ingen løsninger! da (...)2  0 og nævneren 4a2 > 0 d0: 2 løsninger! for d > 0 Overvej at der heraf fås netop 1 løsning! for d = 0

Faktorisering af 2.gradspolynomium Def. r er rod i 2. gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c  p(r) = 0, altså når r er løsning til 2.gradsligningen p(x) = ax2 + bx + c =0 Sætn. 3 r1 og r2 er rødder i 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c  p(x) = a(x –r1)(x-r2)

Bevis for sætn.3 Faktorisering af 2.gradspolynomium   Vides r1 og r2 er rødder i 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c Skal vises: p(x) = a(x –r1)(x-r2) Benyt definition af rødder og løsningsformlen til 2.gradsligningen og Kvadratsætning (x – q)(x + q) = x2 – q2 Indsæt d = b2 – 4ac Kvadratsætning (x + q)2 = x2 + q2 + 2xq Indsæt i højresiden af p(x) = a(x –r1)(x-r2) Sæt på fælles brøkstreg Gang a ind i parentesen

Bevis for sætn.3 Faktorisering af 2.gradspolynomium   Vides p(x) = a(x –r1)(x-r2) Skal vises: r1 og r2 er rødder i 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c , dvs. at p(r1) = p(r2) = 0 Bestem hhv. p(r1) og p(r2) ved indsættelse i forskriften for p(x) p(r1) = a(r1-r1)(r1-r2) = a0(r1-r2) = 0 p(r2) = a(r2 -r1)(r2-r2) = a(r2-r1)0 = 0 r1 og r2 er altså rødder i p(x)

”Gætning” af rødder i en normeret 2.gradsligning Def. En normeret 2.gradsligning er en 2.gradsligning, hvor a = 1 Sætn. 4 r1 og r2 er rødder i en normeret 2.gradspolynomiet p(x) = x2 + bx + c  r1 + r2 = -b og r1r2 = c Bevis: Iflg. Sætn. 3 gælder at p(x) = (x –r1)(x-r2), da a = 1 p(x) = (x –r1)(x-r2)  x2 + bx + c = (x –r1)(x-r2)  x2 + bx + c = x2 – r2x – r1x + r1r2  x2 + bx + c = x2 – (r1+ r2)x + r1r2  x2 + bx + c = x2 – (r1+ r2)x + r1r2  b = – (r1+ r2) og c = r1r2