I Les angles orientés. 1°) Définition et notation : ( OM ; ON ) désigne l’angle orienté de mesure r tel que l’image M’ du point M par la rotation de centre O et d’angle orienté suivant le sens trigonométrique r soit sur la droite (ON). N M’ M sens trigo

Si ( OM ; ON ) = r On a alors ( OM ; ON ) = … N M’ M sens trigo 0

Si ( OM ; ON ) = r On a alors ( OM ; ON ) = r + k2π N M’ M sens trigo 0

Si ( OM ; ON ) = r On a alors ( OM ; ON ) = r + k2π On peut écrire ( OM ; ON ) = r [2π] qui signifie r modulo 2π ( notation à éviter … ) N M’ M sens trigo 0

2°) mesure principale de ( OM ; ON ) ( OM ; ON ) = r + k2π C’est l’unique nombre r’ dans ] – π ; π ] tel que ( OM ; ON ) = r’ N M’ M sens trigo 0

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez les mesures principales de ( AC ; AB ) ( BC ; BA ) ( AC ; CB ) ( AD ; BA )

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; AB ) A C sens trigo B

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; AB ) A C sens trigo B

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; AB ) Dans le triangle ABC l’angle en A est de 45° donc π/4 radians, donc r = 2π – π/4 = 7π/4 A C sens trigo B

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; AB ) Dans le triangle ABC l’angle en A est de 45° donc π/4 radians, donc r = 2π – π/4 = 7π/4 ( AC ; AB ) = 7π/4 + k2π et le seul réel dans ] – π ; π ] est 7π/4 + (- 1)2π = - π/4 A C sens trigo B

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( BC ; BA ) A C B

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( BC ; BA ) Dans le triangle ABC l’angle en B est de 90° donc π/2 radians, donc r = π/2 A C sens trigo B

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( BC ; BA ) Dans le triangle ABC l’angle en B est de 90° donc π/2 radians, donc r = π/2 ( BC ; BA ) = π/2 + k2π et le seul réel dans ] – π ; π ] est π/2 + (0)2π = π/2 A C sens trigo B

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; CB ) A C B

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; CB ) r = π + π/4 = 5π/4 A C sens trigo B

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; CB ) r = π + π/4 = 5π/4 ( AC ; CB ) = 5π/4 + k2π et le seul réel dans ] – π ; π ] est 5π/4 + (- 1)2π = - 3π/4 A C sens trigo B

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AD ; BA ) A C B

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AD ; BA ) r = π – ½ π/4 = 7π/8 A C sens trigo B D

Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AD ; BA ) r = π – ½ π/4 = 7π/8 ( AD ; BA ) = 7π/8 + k2π et le seul réel dans ] – π ; π ] est 7π/8 + (0)2π = 7π/8 A C sens trigo B D

3°) Propriétés : ( v ; u ) = …

3°) Propriétés : ( v ; u ) = … v r u

3°) Propriétés : ( v ; u ) = … v r’ r u r + r’ = 2π donc r = - r’ + 2π

3°) Propriétés : ( v ; u ) = 2π - ( u ; v ) + k2π v r’ r u r + r’ = 2π donc r = - r’ + 2π

3°) Propriétés : ( v ; u ) = - ( u ; v ) + k2π v r’ r u r + r’ = 2π donc r = - r’ + 2π

3°) Propriétés : ( u ; v ) + ( v ; w ) = ….

3°) Propriétés : ( u ; v ) + ( v ; w ) = …. w v r’’ r’ r u r’ + r’’ = r

3°) Propriétés : ( u ; v ) + ( v ; w ) = ( u ; w ) + k2π appelée aussi … w v r’’ r’ r u r’ + r’’ = r

3°) Propriétés : ( u ; v ) + ( v ; w ) = ( u ; w ) + k2π appelée aussi « Relation de Chasles » w v r’’ r’ r u r’ + r’’ = r

( - u ; v ) = … v u

( - u ; v ) = … v - u r’ u r r = π + r’

( - u ; v ) = ( u ; v ) + π + k2π v - u r’ u r r = π + r’

( - u ; - v ) = … v u

( - u ; - v ) = ( u ; v ) + k2π v - u r’ u r - v r = r’

( u ; - v ) = … v u

( u ; - v ) = ( u ; v ) + π + k2π v r r’ u - v r = π + r’

Si u et v sont colinéaires : ( u ; v ) = …

Si u et v sont colinéaires : ( u ; v ) = 0 + k2π v u r = 0

Si u et v sont colinéaires : ( u ; v ) = 0 + k2π si de même sens ( u ; v ) = … si de sens opposés v u r = 0

Si u et v sont colinéaires : ( u ; v ) = 0 + k2π si de même sens ( u ; v ) = π + k2π si de sens opposés v u

( k u ; k’ v ) = … v u

( k u ; k’ v ) = … k’ v v r’ r u k u r = r’

( k u ; k’ v ) = ( u ; v ) + k2π k’ v v r’ r u k u r = r’

si k et k’ positifs k’ v v r’ r u k u r = r’ ( k u ; k’ v ) = ( u ; v ) + k2π si k et k’ positifs k’ v v r’ r u k u r = r’

( k u ; k’ v ) = … si k et k’ négatifs v u

si k et k’ négatifs v k u r’ u r k’ v r = r’ ( k u ; k’ v ) = … si k et k’ négatifs v k u r’ u r k’ v r = r’

si k et k’ négatifs v k u r’ u r k’ v r = r’ ( k u ; k’ v ) = ( u ; v ) + k2π si k et k’ négatifs v k u r’ u r k’ v r = r’

si k positif et k’ négatif v u ( k u ; k’ v ) = … si k positif et k’ négatif v u

si k positif et k’ négatif v r’ u k u r k’ v r = π + r’ ( k u ; k’ v ) = ( u ; v ) + π + k2π si k positif et k’ négatif v r’ u k u r k’ v r = π + r’

si k négatif et k’ positif v u ( k u ; k’ v ) = … si k négatif et k’ positif v u

si k négatif et k’ positif k’ v v k u r’ u r r = π + r’ ( k u ; k’ v ) = ( u ; v ) + π + k2π si k négatif et k’ positif k’ v v k u r’ u r r = π + r’

Conclusion : ( k u ; k’ v ) = … ?

Conclusion : ( k u ; k’ v ) = … ( u ; v ) + k2π si k et k’ de même signe ( u ; v ) + π + k2π si k et k’ de signes opposés

( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ? Déterminez : ( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ?

( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ? C A B Déterminez : ( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ? C A B

( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ? C A B Déterminez : ( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ? C A B

( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ? C A B Déterminez : ( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ? C A B

Somme des angles d’un triangle : ( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = π + k2π C A B

Complétez : ( MA ; MB ) = … M C A B

Théorème de l’angle inscrit : ( MA ; MB ) = ½ ( CA ; CB ) + k2π M C A B

Démonstration : En ne prenant que les mesures principales Dans le triangle ACM : M A C B

Démonstration : En ne prenant que les mesures principales Dans le triangle ACM : ( MA ; MC ) + ( AC ; AM ) + ( CM ; CA ) = π M A C B

Démonstration : En ne prenant que les mesures principales Dans le triangle ACM : ( MA ; MC ) + ( AC ; AM ) + ( CM ; CA ) = π M CM = CA = rayon donc le triangle est isocèle A C donc ( MA ; MC ) = ( AC ; AM ) B

Démonstration : En ne prenant que les mesures principales Dans le triangle ACM : ( MA ; MC ) + ( AC ; AM ) + ( CM ; CA ) = π M CM = CA = rayon donc le triangle est isocèle A C donc ( MA ; MC ) = ( AC ; AM ) B donc ( CM ; CA ) = π – 2 ( MA ; MC )

Démonstration : Même méthode dans le triangle BCM : ( MC ; MB ) + ( BM ; BC ) + ( CB ; CM ) = π M CM = CB = rayon donc le triangle est isocèle A C donc ( MC ; MB ) = ( BM ; BC ) B donc ( CB ; CM ) = π – 2 ( MC ; MB )

Angles en C : ( ; ) + ( ; ) + ( ; ) M A C B

( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = … M A C B Angles en C : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = … M A C B

( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π M A C B Angles en C : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π M A C B

Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) M A C B

Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )]

Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )] = 2π - π + 2 ( MC ; MB ) - π + 2 ( MA ; MC )

Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )] = 2π - π + 2 ( MC ; MB ) - π + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MC ; MB ) + 2 ( MA ; MC )

Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )] = 2π - π + 2 ( MC ; MB ) - π + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MC ; MB ) + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MA ; MC ) + 2 ( MC ; MB )

Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )] = 2π - π + 2 ( MC ; MB ) - π + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MC ; MB ) + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MA ; MC ) + 2 ( MC ; MB ) = 2 [ ( MA ; MC ) + ( MC ; MB ) ]

Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )] = 2π - π + 2 ( MC ; MB ) - π + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MC ; MB ) + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MA ; MC ) + 2 ( MC ; MB ) = 2 [ ( MA ; MC ) + ( MC ; MB ) ] = 2 ( MA ; MB ) d’après Chasles

Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )] = 2π - π + 2 ( MC ; MB ) - π + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MC ; MB ) + 2 ( MA ; MC ) M = 2 ( MA ; MC ) + 2 ( MC ; MB ) = 2 [ ( MA ; MC ) + ( MC ; MB ) ] C B = 2 ( MA ; MB ) d’après Chasles A