Lineære funktioner og udviklingsforløb

Tillægsspørgsmål  Tillægsspørgsmål 1: En særlig linje er tangenten. Redegør for hvordan man bestemmer tangentligningen i et punkt på en given funktion. Du må gerne tage udgangspunkt i et eller flere konkrete eksempler  Tillægsspørgsmål 2: I forbindelse med lineære funktioner tales som residualer. Redegør for, hvordan man beregner disse – og hvad disse anvendes til. Du må gerne tage udgangspunkt i et eller flere konkrete eksempler  Tillægsspørgsmål 3: Redegør for hvordan men kan beregne hvorvidt to linjer er ortogonale (med vektorer). Du må gerne tage udgangspunkt i et eller flere konkrete eksempler  Tillægsspørgsmål 4: Redegør for hvordan man anvender lineære funktioner til lineær programmering – og kom i forlængelse heraf ind på begrebet følsomhedsanalyse. Du må gerne tage udgangspunkt i et eller flere konkrete eksempler  Tillægsspørgsmål 5: Redegør for hvordan man fastlægger det bedste udviklingsforløb – og i forlængelse heraf forklar da hvordan man ud fra to punkter på en af de aktuelle funktioner kan fastlægge en forskrift. Du må gerne tage udgangspunkt i et eller flere konkrete eksempler  Tillægsspørgsmål 6: Redegør for, hvordan man vha. funktionen f(x) = 2 x kan opbygge det binære talsystem og redegør for, hvordan man omregner fra enten 10-talssystemet til det binære talsystem eller modsat. Du må gerne tage udgangspunkt i et eller flere konkrete eksempler

Disposition Modellering af lineær funktioner – hvad bruges det til? Tangent line (formel 103) Lineær programmering – følsomhedsanalyse Residualerne Vektor Monotoniforhold for lineære funktioner

Modellering af lineær funktioner – hvad bruges det til? Modellering ved brug af lineær sammenhænge, dette bruges ved eks. Vis ved at finde en sammenhæng mellem en afsætning og en pris. Man bruger lineære funktioner til at sammenligne to sæt data. Et datasæt er, modsat en funktion, begrænset så du kender kun værdier inden for måleområdet. Hvis de målte data viser sig at være lineære (udregn r^2) kan man finde en tilnærmelse af en lineær ligning som beskriver sammenhænget.

Forskriften for lineær funktioner og parametrene a og b Forskriften for en ret linje kan skrives f (x) = y = a x + b

Tangetline formel 103

Lineær programmering Hvis vi har en funktion med to variable (x og y) får vi matematisk et problem, da vi så ikke længere kan tegne funktionen på et papir ( i planen). Vi skal nu bruge 3 akser (x, y og z), så hvis der skal tegnes en funktion, skal den tegnes i rummet. Derfor anvender vi metoden linærptogramering Lineær programmering bliver kan "kun" anvendes, hvis vi har to variable (f.eks. en produktion af bukser og trøjer)

LP indeholder 6 punkter (som man skal igennem) Til at begynde med er det en god ide at opstille et skema med de givne oplysninger. 1.Definition. Her noteres, hvad x og y står for i opgaven. Altså fx x= antal bukser og y= antal trøjer 2.Betingelser. Oplysningerne i skemaet omskrives til uligheder, der reduceres så y isoleres. Husk altid at notere - i tekstopgaver - at x > 0, og y > 0. da vi kun er i 1. kvadrant fordi man ikke kan producere -4 bukser 3.Polygonområde. Ulighederne fra betingelserne tegnes ind i et koordinatsystem. Man angiver tydeligt, hvad der kan bruges - og markerer polygonet. OBS I n-spirre skravere man det man ikke kan bruge.

4. Kriteriefunktion - "Målfunktionen" opstilles som funktion af såvel x som y. f(x,y) ofte karakteriseret som dækningsbidrag eller omkostninger 5. Niveaulinie. - N(0) beregnes. Kriteriefunktionen sættes = 0 og y isoleres. - Med en pil angives tydeligt, i hvilken retning funktionen vokser. 6. Konklusion. - Maksimum - eller evt. minimum - bestemmes ved parallelforskydning af niveaulinien. - Maksimum/minimum markeres tydeligt på polygonet - hvis man kommer i tvivl om hvilket punkt, der er bedst, kan man benytte sig af hjørneinspektion, som gøres ved at sætte x og y ind i kriteriefunktionen f(x,y). - Konklusionen skrives altid med ord

Eksempel

Polygonområde

Følsomhedsanalyse Vha. følsomhedsanalyse kan vi bl.a. afgøre følgende: Hvor meget kan DB for en lommeregner kan ændre sig uden at den optimale produktionssammensætning på 8 stk. lommeregner og 12 stk. telefon skal ændres. (Vi forudsætter, at DB for en telefon er uændret – dvs. 140 kr.) Hvor meget kan DB for en telefon ændre sig uden at den optimale produktionssammensætning på 8 stk. lommeregner og 12 stk. telefon skal ændres. (Vi forudsætter, at DB for en lommeregner er uændret – dvs. 80 kr.)

Konklusion Det vil sige at dækningsbidraget for lommeregner kan ændre ned til 35 og op til 140 før at (8,12) ikke længere er den optimale løsning Dækningsbidraget for en telefon kan ændre ned til 80 og op til 320 før at (8,12) ikke længere er den optimale løsning

Residualerne Viser forskellen på den observerede værdi og den værdi som den statistiske model viser Residualerne kan anvendes til at kontrollere den statistiske models tilpasning til data. Især vil et stort residual angive en meget dårlig tilpasning af modellen til et datapunkt, hvilket kan skyldes en fejl i data, eller at modellen er utilstrækkelig.

Udregnes ved at man tager forskelen på den observerede værdi og den værdi som de statistiske model viser

Den beregnet y-værdi findes ved at sætte x værdien ind i den statistiske model

Grafisk visning af residualer

Vektor

Monotoniforhold Hældningen a er som bekendt ikke spor spændende at se på. Men hvis vi ser på hældningen for en tangent er det anderledes interessant - for dennes hældning fortæller noget om funktionens monotoniforhold og ekstremaer.