Signalbehandling og matematik 2 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 6. Lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/

Z-transformation Repetition z-transformation Im 1 2 3 z z-transformation Hvor z er et komplekst tal F.eks. z=2+j3

Signaler og systemer i de 3 domæner Repetition Signaler og systemer i de 3 domæner System Input Output Output Tids domænet: Fourier domænet: Z-transfomation:

System repræsentation i tidsdomænet Repetition System repræsentation i tidsdomænet Impuls respons h[n]: F.eks. Input/output repræsentation Kan være en differentiel ligning

Nuller og Poler Nuller Poler ROC kan ikke indeholde polerne Værdier af z som hvor X(z)=0 kaldes nuller Hvilket er rødderne til tæller polynomiet Poler Værdier af z som hvor X(z)= ∞ kaldes poler Hvilket er rødderne til nævner polynomiet ROC kan ikke indeholde polerne

System repræsentation i z domænet Repetition System repræsentation i z domænet z: Rationel form (ønsket form)

Z-transformation Eksempel Kombination af to eksponentielle signaler Re Im 1 *1/2 *1/3

Z-transformation vs. Fourier Fourier transformationen er en z-transformation hvor z skal tilhøre enheds cirklen. Amplitude og fase plots af Fourier transformationer er forklarende og intuitive Er findes en endelige z-transformation for flere signaler end for Fourier transformationen. Z-transformationen er analytisk fordelagtigt Poler og nuller kan fortolkes og derved beskrive systemet

Beregning af transformationer Fourier transformation z-transformation Transformering Direkte beregning eller inspektion Invers transformering Hovedsageligt inspektion

Agenda Fourier vs Z-transformation System funktioner for difference funktioner Inverse systemer Frekvens respons af LTI systemer Fekvens respons af rational system funktion

Z-transformation og Fourier transformation Re Im 1 2 3 ω

Fourier på enhedscirklen Re Im 1 2 3 Eulers formel: Fra geometrien ved vi Derfor er Derfor er Fourier transformationer en z transformation hvor z er begrænset til ω

Konvergens af Fourier transformationer Fourier transformationen må repræsentere en endelig værdi for alle frekvenser Hvilket kræver at Fourier summen konvergere Derfor skal x[n] være absolut sumerbar Hvilket kun sker når x[n] enten er endelig eller går mod nul når

Konvergens af Fourier transformationen aflæst i z-planet Fourier transformationen svare til en z-transformation med |z|=1 Derfor hvis ROC indeholder enhedscirklen konverger Fourier transformationen Re Im 1 2 3

Eksempel på FT konvergens Højresiddet eksponentiel signal: Z-transformation: a=0.8 Kriterium for Fourier transformation konvergens opfyldes da Re Im 1 0.8

Eksempel på FT som ikke konvergere Højresiddet eksponentiel signal: Z-transformation: a=1.2 Re Im 1 1.2

Foldning i frekvens domænet Når: Foldning i tids domænet Multiplikation i frekvens domænet

Agenda Fourier vs Z-transformation System funktioner for difference funktioner Inverse systemer Frekvens respons af LTI systemer Fekvens respons af rational system funktion

System funktioner for differentiel funktioner (1/3) System repræsenteret ved differentiel funktion Z-transformation af differentiel funktion S.173

System funktioner for differentiel funktioner (2/3) Omskrivning til rationel form

System funktioner for differentiel funktioner (3/3) Faktoriseret udgave Hvor z=ck er nuller z=dk er poler

Eksempel (z-transfomation)

Eksempel (invers z-transformation til differentiel funktion)

Impuls respons af rationel systemer Partial fraktion ekspansion Hvis M<N Hvis M≥N

Eksempel (invers z-transformation til impuls respons)

Brug af system funktion Diskret tid-domæne Input output fremstilling Implus respons Z- domæne Diskret tid-domæne

Kausalitet system

Stabilt system Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset ”Bounded input Bounded output (BIBO)” I tids domænet: Vi kan se om ovenforstående gælder i z-transformatione hvis Derfor skal enhedscirkelen ligge i ROC hvis systemet er stabilt Dermed skal polerne for et stabilt system ligge indenfor enhedcirkelen

ROC af differentiel funktioner Hvis systemet er kausalt Hvis systemet er stabilt Re Im 1 2 3 * * Im 3 2 1 Re * * 1 2 29

Annulering af nulpunkter og poler Nulpunkter og poler af samme værdi ophæver hinanden Re Im 1 2 3 * *

IIR og FIR filter IIR FIR Systemer med uendelige impuls respons har altid mindst en betydende pol (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) FIR Systemer med endelige impuls respons har ingen betydende poler (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) General form: Eksempel: Invers transformation:

Eksempel: IIR system Z-transformation ved inspektion Invers Z-transformation ved inspektion, givet at |z|>a Stabilt hvis a<1 men ikke endelig

Eksempel: FIR system Eksempel Z-transformation: Ved hjælp af geometrisk rækker fås (se side 27 i bogen) Til differentiel ligning

Agenda Fourier vs Z-transformation System funktioner for difference funktioner Inverse systemer Frekvens respons af LTI systemer Frekvens respons af rational system funktion

Inverse systemer Et invers system Hi(z) er defineret som det system der udligner effekten af H(z) Eksempel:

Inverse systemer i tids og frekvens domænet Tids domænet Frekvens domænet

Inverse systemer af rationelle definerede systemer ROC: ROC af H(z) og Hi(z) systemer skal over lappe

Eksempel: inverse systemer ROC |z|>0.9 Re Im 1 * + Re Im 1 + * ROC for H(z)Hi(z) Re Im 1

Agenda Fourier vs Z-transformation System funktioner for difference funktioner Inverse systemer Frekvens respons af LTI systemer Frekvens respons af rational system funktion Fra poler og nuller til frekvensrespons

Frekvens respons af LTI systemer Outputtet er inputtet foldet med systemets impuls respons Foldning svare til multiplikation i frekvens domænet

Amplitude og fase respons Amplitude output : Fase output : Hvor kaldes amplitude responsen eller ”gain” Hvor kaldes fase responsen eller fase skiftet

Eksempel på amplitude output

Eksempel på fase output

Amplitude og fase respons: Ideelle delay system Frekvens respons Amplitude respons Fase respons

Fase forvrængning og forskydning Typisk ønskes en fase forskydning på nul Ellers en lineær fase forskydning. S. 303

Group delay Forskydning opgivet i samples (tid) Idelle delay:

Ideelt gruppe delay I de fleste systemer vil vi gerne have konstant gruppe delay for interessante frekvenser Da forsager en lineær fase respons et konstant gruppe delay. S. 305

Eksempel: Systemet (1/3)

Eksempel: Inputet (2/3)

Eksempel: Outputtet (3/3)

Omskriv til Frekvens respons til polar form for illustration Frekevns Amplitude: Fase skift: Real del (Amplitude) Kompleks del (Fase) s. 284

Beregning af fasen Direkte aflæst fra eksponentielle komplekse signaler Alternativ ”arc tan” funktionen som beregner den principielle fase Re Im 1 ω

Diskontinuer fase

Agenda Fourier vs Z-transformation System funktioner for difference funktioner Inverse systemer Frekvens respons af LTI systemer Frekvens respons af rational system funktion

Frekvens respons af rationelle systemer Ved at substituere z=ejω

Amplitude respons af rationelle systemer multiplikation/division af absolutte faktorer

Fase respons af rationelle systemer Gruppe delay: Addering/substrahering af absolutte faktorer

Amplitude respons i dB Amplitude respons i dB: Der med kan både Amplitude og fase respons beregne ved addering

Tegning af amplitude og fase responser Simpelt system Z-transformation: Substituer z=ejω Amplitude respons Fase respons

Tegning af amplitude respons (1/2) Kvadratisk amplitude:

Tegning af amplitude respons (2/2)

Tegning af fase respons (1/2) arctan løses med lommeregner eller Matlab

Tegning af fase respons (2/2)

Tegning af gruppe delay

Agenda Fourier vs Z-transformation System funktioner for difference funktioner Inverse systemer Frekvens respons af LTI systemer Fekvens respons af rational system funktion