Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)

Præsentationer af emnet: "Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)"— Præsentationens transcript:

1 Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)
Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt

2 Session 1. Sekvenser Diskrete systemer Lineære systemer Foldning
Lineære tidsinvariante systemer

3 Kontinuerte vs. diskrete tidssignaler
Tidskontinuert signal (Analog) Tidsdiskret signal (Digitalt) Sampling Analogt system A/D komverter DSP (Digital signal processer)

4 Digitale signaler hvor?
…og meget mere

5 Fysiologiske signaler
Kardiologiskesignaler EEG

6 Typiske Digitale systemer
ADC DSP DAC Analogt signal Analog til Digital konvertering Digital signal processor Digital til analog konvertering Analogt signal ADC DSP Filter Puls tæller Display Puls: 61 Eksempel EKG baseret plustæller

7 definition og notation: Signal
 Signal er enhver tids varierende eller rum varierede kvantitet Tids variable: x(t) Dimension: x(d1,d2)

8 Matematisk definition og notation: Tidsdiskret signal
Funktion af en diskret tids variabel Signalet repræsenteres som en sekvens af nummer x[n], -∞ < n < ∞ Hvor n er et heltal F.eks. x[0]=1, x[1]=1, x[2]=-2 Relation til analogt signal x[n]=x(nT) , -∞ < n < ∞ Hvor T er samplings perioden T N.B. Ved et Digitalt signal er amplituden også diskret

9 Eksempel på sampling Se Matlab demo

10 Basis signaler: Unit sample og Unit step

11 Basis signaler: Exponential (real)
Stigende hvis α>1 Faldende hvis α<1

12 Basis signaler: Sinus ω0: frekvens rad/sample Φ: fase

13 Periodiske signaler Et signal er periodisk med N hvis
x[n]=x[n+N], hvor N er et heltal Et sinus signal er periodisk hvis Hvor Hvor både N og k er heltal

14 Diskrete sinus signaler
For sinus signaler gælder at Højeste svingningshastighed opnås ved ω0=π eller ω0=-π og det interessante frekvens interval er -π  ω0  π Se Matlab Demo

15 Session 1. Sekvenser Diskrete systemer Lineære systemer Foldning
Lineære tidsinvariante systemer

16 Tidsdiskrete systemer
Defination: Transformation eller operation af et tidsdiskrete input x[n] til et tidsdiskrete output y[n] Eksempler: Filtrer Operatorer Multiplications system

17 Det ideelle delay system
y[n]=x[n-n0] hvor n0 er delay’et er repræsenteret ved et heltal

18 Moving average system

19 Systemkarakteristika
Hukommelesesløst: Y[n] er kun afhængig af x[n] Akkumulator Akkumulator

20 Session 1. Sekvenser diskrete systemer Lineære systemer Foldning
Lineære tidsinvariante systemer

21 Lineært system

22 Lineært system Additiv egenskab: X1[n]  T{∙} X2[n] X1[n] T{∙}  X2[n]

23 Lineært system Skalerings egenskab x X1[n] T{∙} a x X1[n] T{∙} a

24 Lineært system Defineret ud fra superposition

25 Eksemple y[n]=x[n]^2 Test: Additiv egenskab x1[1]=2 og x2[1]=6

26 Tidsinvariante systemer
Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit tid (Koefficienterne er uafhængig af tid) Det vil sige hvis x2[n]=x1[n-n0] så er y2[n]=y1[n-n0] Det samme i går, i dag, i morgen og om 1000 år 70 år 45 år 20 år Ikke tidsinvariant system

27 Kausalitet Et kausalt system kun afhængig af input fra fortid og nutid. y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor nn1 Kausalt system (Bagudrettet difference) Ikke Kausalt system (Forudrettet difference)

28 Stabilitet Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset Bounded input Bounded output (BIBO) Givet

29 Unit sample egenskaber
Alle signaler kan udtrykkes som en sum af vægtede og forskudte Unit samples Side 11 Oppenheim

30 Impuls respons T{∙} Side 23 Oppenheim

31 Session 1. Sekvenser diskrete systemer Lineære systemer Foldning
Lineære tidsinvariante systemer

32 Impulsrespons og Lineære tidsinvariante systemer (LTI)
Hvis vi antager T{∙} som er lineær kan vi bruge superposition Hvis vi antager tidsinvarians Side 23 Oppenheim

33 Folding (Convolution)
Foldings sum Generel notation Side 23 Oppenheim

34 Folding: eksample

35 Regneregler for foldning
Foldning er kommutativ Derfor Foldning er distributiv med hensyn til addition Side 29 Oppenheim

36 Session 1. Sekvenser diskrete systemer Lineære systemer Foldning
Lineære tidsinvariante systemer

37 LTI egenskaber: Serielle systemer
H1[n] H2[n] x[n] y[n] Impuls responsen for en serie af LTI systemer svare til foldning af impuls responserne fra disse systemer da: H1[n]*H2[n] x[n] y[n] Side 29 Oppenheim

38 LTI egenskaber: Serielle systemer (kommutativitet)
På grund er kommutativitet er rækkefølgen af systemerne ligegyldig H1[n] H2[n] x[n] y[n] H2[n] H1[n] x[n] y[n] Obs! pas på i den virkelige verden Side 29 Oppenheim

39 LTI egenskaber: Parallelle systemer
Impuls responsen for parallelle LTI systemer svare til addering af impuls responserne fra disse systemer. Side 30 Oppenheim

40 LTI egenskaber: Stabilitet og impuls responsen
Et LTI system er stabilt hvis og kun hvis

41 LTI egenskaber: FIR systemer
Finite impulse response (FIR) Endelig antal nonzero samples i impulsresponsen Altid stabilt så længe værdierne i impuls responsen er endelige

42 LTI egenskaber: IIR systemer
Infinite impulse response (IIR) Uendelig antal nonzero samples i impulsresponsen Kan være både stabilt og ustabilt Eksempel på et stabilt system

43 LTI egenskaber: Kausalitet og impuls responsen
Et LTI system er kausalt hvis og kun hvis Ikke kausal impulsrespons Spejling af impulsresponsen til venstre (n=0)

44 Eksempler på impulsresponser
Ideelle delay system y[n]=x[n-n0] Stabilt ? Ja Kausalt? Ja hvis n0≥0

45 Eksempler på impulsresponser
Moving average system Stabilt ? Ja Kausalt? Kun hvis -M1≥0 og –M2≥0

46 Eksempler på impulsresponser
Akkumulator Stabilt ? Nej Kausalt? Ja

47 Inverse systemer

48 Session 1. Sekvenser diskrete systemer Lineære systemer Foldning
Lineære tidsinvariante systemer