KM2: F261 Kvantitative metoder 2 Instrumentvariabel estimation 16. maj 2007

KM2: F262 Plan for resten af gennemgangen F25: Instrumentvariabel (IV) estimation: –Introduktion til endogenitet og instrumentvariabler –En regressor, et instrument: Kap afsnit 1-4 i noten. F26: Kap , 15.5 og afsnit 4, 6-7 i noten. –Flere endogene regressorer (eksakt identificeret): –2SLS (two-stage least squares) i et eksakt identificeret tilfælde. –Test af exogenitet F27: Kap , afsnit 5-7 i noten –Overidentificeret tilfælde –2SLS (two-stage least squares) estimation og inferens. –Test af overidentificerende restriktioner –Målefejl F28: Afslutningsforelæsning –Eksempel: Fødselsvægt og rygning –Kap. 19 om empiriske projekter –Information vedr. eksamen

KM2: F263 Multipel IV estimation: Flere endogene regressorer Regressionsmodel på matrix form: Strukturel ligning: Opdel regressorerne i to grupper: Antag: regressorer er endogene: Skal som minimum bruge instrumenter

KM2: F264 Multipel IV estimation: Antal instrumenter Eksakt identifikation: Vi har netop instrumenter til rådighed, samme antal som der er endogene regressorer: Overidentifikation: Flere instrumenter end nødvendigt (F27). exogene variabler: (”instrumenter for sig selv”). Z rummer alle exogene variabler i modellen: – variabler, der er inkluderet i den strukturelle ligning – variabler, der er ekskluderet fra strukturel ligning

KM2: F265 Multipel IV estimation: Eksakt identificeret tilfælde For et gyldigt sæt af instrumenter kræves: Ingen korrelation med fejlleddet: Korrelation med de endogene regressorer: Ingen perfekt lineær afhængighed mellem exogene variabler:

KM2: F266 Eksakt identificeret tilfælde: IV estimation Udgangspunkt i betingelse for gyldigt instrument: Ingen korrelation med fejlleddet i populationen: Analog betingelse i stikprøven: Momentbetingelser definerer IV estimatoren: IV estimatoren er konsistent:

KM2: F267 Eksakt identificeret tilfælde: IV estimation Den simple IV formel kan beregnes for det eksakt identificerede tilfælde (antal endogene regressorer = antal instrumenter) Ækvivalent beregning ved to-trins metode: Two-stage least squares (2SLS) 2SLS kan generaliseres til overidentificeret tilfælde (F27): Flere instrumenter til rådighed end nødvendigt

KM2: F268 To-trins procedure (2SLS) 1. trin: Prediktion af ud fra de exogene variabler på grundlag af hjælpeligningerne: – hjælpeligninger, betegnes den reducerede form. Ligningerne for er ”trivielle”. Resten estimeres ved OLS. –Estimater og prediktioner fra hjælpeligningen: –Matricen kaldes projektionsmatricen: Symmetrisk, idempotent matrix ( ) –Prediktioner af ud fra matricen af exogene variabler, : Asymptotisk ukorrelerede med fejlleddet.

KM2: F269 To-trins procedure (2SLS): Eksakt identifikation 2. trin: OLS på grundlag af predikterede værdier: Udtrykket forkorter ned og er ækvivalent med IV i det eksakt identificerede tilfælde 2SLS udtrykket gælder også i det overidentificerede tilfælde: Flere instrumenter til rådighed end nødvendigt (F27)

KM2: F2610 Test af exogenitet: Hvornår er det nødvendigt at bruge IV estimation? Er en given regressor i den strukturelle ligning endogen eller exogen? –Hvis endogen, så brug IV –Hvis exogen, så brug OLS (på grund af efficiens) Strukturel ligning: : Mistænker variablen for at være endogen, antag at øvrige k-1 regressorer er exogene: Antag at vi har et gyldigt instrument, : Hjælpeligning (reduceret form) for :

KM2: F2611 Test af exogenitet (2) Hvis faktisk er exogen i den strukturelle ligning: –Både OLS og IV er konsistente estimatorer: –OLS er efficient. Hvis faktisk er endogen i den strukturelle ligning: –Kun IV giver konsistente estimatorer: Test baseret direkte på forskellen mellem OLS og IV estimaterne: Kvant 3.

KM2: F2612 Test af exogenitet (3) ”Residual augmenteret regression” test: Endnu en hjælperegression. Ide: En eventuel korrelation mellem og svarer til, at der er korrelation mellem og (husk at pr. antagelse er ukorreleret med ). Splitte op i to dele: En del der er korreleret med og en ukorreleret del: Indsæt i strukturel ligning: Erstat med residualet fra den reducerede form, : Lav signifikanstest på Test af exogenitet af educ i W’s løneksempel (Ex. 15.7)

KM2: F2613 NB’er IV estimation kræver mindst samme antal instrumenter, som der er endogene regressorer i den strukturelle ligning. IV estimation kan gennemføres som OLS i to trin: 2SLS. Om en regressor i den strukturelle ligning faktisk er endogen eller exogen kan testes. Testet kræver at der et gyldigt instrument til rådighed (og bygger derfor på antagelserne om dette instrument).

KM2: F2614 Næste gang: Mandag 21. maj. Overidentificeret tilfælde 2SLS for det generelle tilfælde Mere om test af exogenitet Test af overidentificerende restriktioner 6-trins procedure for IV estimation Husk: Evaluering (også af den tværfaglige semesteropgave)