Grundlæggende teoretisk statistik Kapitel F Konfidensintervaller

Konfidensinterval Et konfidensinterval for en populationsparameter: Middelværdien, μ Populationsandèlen, p Variansen, σ2 Intensitèten, λ er et interval, som med en given sikkerhed (konfidens) indeholder den ukendte populationsparameter! Konfidensintervaller baserer sig på viden om estimatorernes fordeling, middelværdi og varians Bemærk, at der tales om konfidens – ej sandsynlighed

Præcision og Sikkerhed Præcision eller nøjagtighed måles på intervallets bredde Konfidens er - med vores viden om estimators fordeling - den sikkerhed vi har for at finde den ukendte populationsparameter i intervallet Præcision og sikkerhed er modsat rettede tendenser ved given stikprøve Vi kan imidlertid forøge både præcision og sikkerhed ved at forøge stikprøvens størrelse.

Estimatorers egenskaber (BWH side 108ø) Forventningsrette Forventningsværdien på estimatoren er lig populationsværdien Præcise / Efficiente Lille variation Bemærk, at sammenlignet med medianen Er mere præcis (efficient) estimator, når X er normalfordelt! Men mindre efficient, hvis X ikke er normalfordelt Konsistente Ved stigende stikprøve konvergerer de mod populations-værdien

Stikprøvefordeling for Vi udtager en stikprøve på n enheder fra en population med populationsgennemsnit på μ Populationsvarians på σ2 Vi beregner gennemsnittet i stikprøven, og benævner det , som estimat for μ. Da gennemsnittet estimerer μ, kalder vi også er en stokastisk variabel og spørgsmålet er derfor: Hvad er Middelværdi? Varians / standardafvigelse? Fordeling?

Stikprøvefordeling for Korrektionsfaktor for store stikprøver

Konfidensinterval på μ – kendt populationsvarians σ2 Stikprøve-fejlen eller Fejl-marginen α (1-α) α/2 Zα/2 Z1-α/2 0,01 0,99 0,005 -2,576 2,576 0,05 0,95 0,025 -1,96 1,96 0,10 0,90 -1,645 1,645

Konfidensinterval på μ - ukendt populationsvarians, σ2 Det forudsættes fortsat, at X er normalfordelt I mange praktiske situationer er der ingen viden om populationsvariansen I flere situationer har vi også en lille stikprøve Lille n og estimation af σ giver ekstra usikkerhed, som håndteres ved at anvende Student’s t-fordeling, hvis parameter v kaldes antal frihedsgrader: v = n-1 Student’ t-fordeling ligner Z~N(0,1), men har større varians, der dog aftager med stigende frihedsgrads-antal

(1-)% konfidensinterval på μ Opslag i t-fordeling: Eksempel ved n=10, og derfor v=n-1=9 α α/2 tα/2 t1-α/2 0,01 0,005 -3,25 3,25 0,05 0,025 -2,262 2,262 0,10 -1,833 1,833

(1-)% konfidensinterval på μ P.g.a. den centrale grænseværdisætning, og at Students t-fordeling konvergerer mod N(0,1)

Stikprøvefordeling for Vi udtager en stikprøve på n enheder fra en population med en andèl, p med et givet karakteristika. Antal i stikprøven med det givne karakteristika er binomialfordelt, b(n,p) Vi beregner stikprøveandelen , som estimat for p er en stokastisk variabel og spørgsmålet er derfor: Hvad er dens Middelværdi? Varians / standardafvigelse? Fordeling?

Konfidensinterval på populations-andèl Forudsat normal approximation er acceptabel, d.v.s. at enten np(1-p) >9 eller (np>5 og n(1-p)>5)

Stikprøvefordeling for s2 σ2 estimeres med stikprøvevariansen: s2 er en forventningsret estimator, E(s2)= σ2 Variansen på s2: Hvis X~N(μ,σ2) så er:

Konfidensinterval på varians, σ2

Stikprøvefordeling for (når X~poisson (λ)) Estimator = λ estimeres med gennemsnittet E( )= λ VAR( )= λ / n Estimator er approximativt normalfordelt, jf. den centrale grænseværdisætning:

Konfidensinterval på poisson-parameter Forudsat normal approximation er acceptabel

Oversigt S2 Populations- parameter Esti-mator Estimators fordeling Interval- estimat (1-α)% Middelværdi, µ Normalfordelt med σ kendt, t-fordelt med σ ukendt Populations-andel, p Binomialfordelt (n,p)  Normalfordelt hvis V(X)>9 Varians, σ2 S2 (n-1)s2 / σ2 ~ Χ2 (chikvadrat) Intensitèt, λ Poissonfordelt (λ) Normalfordelt, hvis λ>9

Kap F - opgaver Opgavesamling i Statistik 2009 fra Statistica: Opgave 39-42, 44-453), 46, E152), E122) BWH-Opgavesamling: Opgavesæt U3 Opgave 1 Spm 1.3 Opgave 2 Opgavesæt U4 Opgave 6, 7 og 8

Sammenligning af 2 populationer Konfidensinterval for forskel i middelværdi i 2 normalfordelte populationer 2 afhængige stikprøver (Matched pairs) 2 uafhængige stikprøver med kendte pop.varianser Ukendte men ens populationsvarianser Ukendte men forskellige populationsvarianser Konfidensinterval for forskel i populationsandèl i 2 uafhængige populationer Konfidensinterval for populationsvarians i normalfordelt population Bestemmelse af stikprøvestørrelse

Konfidensinterval for μD=(μE – μF) i 2 afhængige stikprøver Bruges, når du på et givet objekt måler en Før- og en Eftersituation, f.eks. blodtryk eller puls før (F) hhv. efter (E) en given påvirkning. Estimator for μD er den gennemsnitlige difference, idet di = xiE – xiF Populationsdifferencen antages normalfordelt

Konf. interval for (μx – μy) i 2 uafhængige stikprøver m/ kendte pop Konf.interval for (μx – μy) i 2 uafhængige stikprøver m/ kendte pop.varianser Estimator for (μx-μy) er Da stikprøverne er uafhængige kan variansen på forskellen mellem de 2 stikprøvegennem-snit beregnes som summen af de 2 enkelte varianser: Fortsættes

Konf. interval for (μx – μy) i 2 uafhængige stikprøver med kendte pop Konf.interval for (μx – μy) i 2 uafhængige stikprøver med kendte pop.varianser (1-α)% konfidensintervallet bliver derfor:

De 2 varianser antages ens Konf.interval for (μx – μy) i 2 uafh. stikprøver med ukendte, men ens pop.varianser De 2 varianser antages ens Da stikprøverne er uafhængige kan variansen på forskellen mellem de 2 stikprøvegennem-snit beregnes som summen af de 2 enkelte varianser, hvor den fælles varians estimeres med Fortsættes

Konf. interval for (μx – μy) i 2 uafh Konf.interval for (μx – μy) i 2 uafh. stik-prøver med ukendte, men ens pop.varianser (1-α)% konfidensintervallet bliver derfor:

De 2 varianser antages forskellige Konf.interval for (μx – μy) i 2 uafh. stik-prøver med ukendte, men uens pop.varianser De 2 varianser antages forskellige Da stikprøverne er uafhængige kan variansen på forskellen mellem de 2 stikprøvegennem-snit beregnes som summen af de 2 enkelte varianser, der begge estimeres udfra stikprøvevarianserne Den supplerende usikkerhed, som de ukendte og uens varianser giver, kompenseres ved at t-fordelingens antal frihedsgrader justeres ned Fortsættes

Med følgende beregnede antal frihedgrader: Konf.interval for (μx – μy) i 2 uafh. stikprøver med ukendte, men uens pop.varianser (1-α)% konfidensintervallet bliver derfor: Med følgende beregnede antal frihedgrader:

Konf.interval for forskel i populations-andèle i 2 uafhængige populationer Estimator for forskellen i populationsandelen (px – py) er forskellen i stikprøveandelene hvor Da stikprøverne er uafhængige kan varianserne på hver enkelt estimator blot lægges sammen Begge stikprøver skal være store, da vi skal kunne approximere fra binomial- til normalfordelingen Fortsættes

Konf.interval for forskel i populations-andèle i 2 uafhængige populationer (1-α)% konfidensintervallet bliver derfor:

Grundlæggende teoretisk statistik Kapitel M Bestemmelse af stikprøvestørrelse

Stikprøvens størrelse ved estimation på μ Normalfordelt population med kendt varians Stikprøven bestemmes ud fra den maksimale stikprøvefejl (fejlmargin), som man ønsker, d.v.s. den minimale nøjagtighed, der kræves!

Stikprøvens størrelse ved estima-tion på p Binomialfordelt population med stor stikprøve Normal approximation skal være ok Stikprøven bestemmes igen ud fra den maksimale stikprøve-fejl, som man ønsker, d.v.s. den minimale nøjagtighed, der kræves! Problemet er her, at variansen på vores estimator, stikprøve-andèlen beror på den ukendte populationsandèl, p: Fortsættes

Stikprøvens størrelse ved estimation på p Stikprøvestørrelsen beregnes som før ved: Men da p jo er ukendt kan den maksimale stikprøvestørrelse der skal udvælges for at sikre den givne nøjagtighed findes ved at se på, hvornår p*(1-p) er i sit maksimum. Det er den, når p=0,5 Fortsættes

Stikprøvens størrelse ved estima-tion på p Den maksimale stikprøve kan derfor bestem-mes til. Ved forudgående viden om populationsan-delens maksimale/minimale størrelse kan denne alternativt bruges