Koordinatsystemet Y-aksen 2. aksen X-aksen 1. aksen

Koordinatsystemet A B C D E F G H 1 8 7 6 5 4 3 2

Et punkt i koordinatsystemet Et punkt har et koordinatsæt (x,y) én x-værdi én y-værdi Det er altid først x-værdien og så y-værdien. (Først ud af 1. aksen, så ud af 2. aksen) Et punkt skrives med parentes omkring sig. Eks: (1,2)

Lineære funktioner Andre navne: Den rette linje 1. gradspolynomium 1. gradsfunktion Forskrift: Y = ax + b f(x) = ax + b Udtales: ”f af x” eller ”funktionen af x” er … Afbilledes i et koordinatsystem som en ret (= lige) linje.

Y = ax + b ”Find forskriften” Når man bliver bedt om at finde forskriften, skal man finde a og b for den pågældende linjen Y = ax + b

Forskriften y = ax + b y og x kaldes variabler, fordi deres værdi kan variere indenfor den enkelte forskrift. Altså at man selv kan sætte tal ind på x’s og y’s plads i den enkelte forskrift. a og b kaldes for konstanter, fordi deres værdi er konstant. De bliver altså ved med at være det samme tal hele tiden inden for den enkelte forskrift. Hvis man skifter værdien ud på a og/eller b, laver man en ny forskrift og dermed får man en n ret linje.

Eksempler på forskrifter Find a og b i de forskellige forskrifter y = ·x - 1 1 4 y = 3·x - 4 y = -5·x - 2 y = ·x + 7 1 2 y = 3 - 1·x

a Hvad står a for? Hældningen på linjen. Hældningen = hvor meget linjen stiger eller falder, hver gang man går 1 ud af x-aksen Hvordan aflæser man a? Hver gang man går 1 til højre af x-aksen, går man a op (eller a ned, hvis hældningen er negativ) på y-aksen a = 1 a = - 0,25

a Hvordan beregner man a? Find to punkter (x1; y1) og (x2;y2) a = 𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1

b Hvad står b for? Skæringspunkt med y-aksen Hvordan aflæser man b? Ser hvor den skærer y-aksen (aflæser) b = 3 b = 0 b = - 1 y = 1 · x - 1 y = 1 · x + 0 y = 1 · x - 3 y = 1 · x + 3 b = - 3

b Hvordan beregner man b? Y - (ax) = b aflæs et punkt (x , y) og indsæt disse på x’s og y’s plads.

Tegning af en ret linje y = 2 · x – 3 Eksempel: Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,-3) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder næste punkt på linien ved at gå 1 vandret fremad fra punktet og a=2 op. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 2 op.

Lineære funktioner: y = 2 · x – 3 Eksempel: Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,-3) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og a=2 op. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 2 op.

Lineære funktioner: y = 2 · x – 3 Eksempel: Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,-3) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og a=2 op. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 2 op. Og sådan kan man blive ved…

Lineære funktioner: y = 2 · x – 3 Eksempel: Linien tegnes ved først at afsætte punktet (0,-3) på 2. aksen. Dermed har du et punkt på linien. Du finder flere punkter på linien ved at gå 1 vandret fremad fra et kendt punkt – og a=2 op. … og sådan kan man blive ved: igen at gå 1 frem og endnu 2 op. Og linien kan tegnes…

Lineære funktioner: Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis Når flere funktionværdier skal beregnes, kan man få struktur på, ved at sætte dem ind i et ”sildeben”. Her vælger du de x-værdier, du ønsker – og beregner de tilhørende y-værdier ved hjælp af funktionsforskriften y = 2 · x – 5 x y

Lineære funktioner: Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis Når flere funktionværdier skal beregnes, kan man få struktur på, ved at sætte dem ind i et ”sildeben”. Her vælger du de x-værdier, du ønsker – og beregner de tilhørende y-værdier ved hjælp af funktionsforskriften y = 2 · x – 5 y = 2 · (-2) – 5 = -9 x -2 y -9

Lineære funktioner: Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis Når flere funktionværdier skal beregnes, kan man få struktur på, ved at sætte dem ind i et ”sildeben”. Her vælger du de x-værdier, du ønsker – og beregner de tilhørende y-værdier ved hjælp af funktionsforskriften y = 2 · x – 5 y = 2 · 0 – 5 = -5 x -2 y -9 -5

Lineære funktioner: Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis Når flere funktionværdier skal beregnes, kan man få struktur på, ved at sætte dem ind i et ”sildeben”. Her vælger du de x-værdier, du ønsker – og beregner de tilhørende y-værdier ved hjælp af funktionsforskriften y = 2 · x – 5 y = 2 · 3 – 5 = 1 x -2 3 y -9 -5 1

Lineære funktioner: Sildeben / Havelåge / Stakit / Hestegebis Når flere funktionværdier skal beregnes, kan man få struktur på, ved at sætte dem ind i et ”sildeben”. Her vælger du de x-værdier, du ønsker – og beregner de tilhørende y-værdier ved hjælp af funktionsforskriften y = 2 · x – 5 y = 2 · 7 – 5 = 9 x -2 3 7 y -9 -5 1 9

Lineære funktioner: Tegning af funktionen i et koordinatsystem Funktionen tegnes ved at man afsætter de beregnede værdier i koordinatsystemet: y = 2 · x – 5 x y -2 3 7 -9 -5 1 9

Lineære funktioner: Tegning af funktionen i et koordinatsystem Funktionen tegnes ved at man afsætter de beregnede værdier i koordinatsystemet – og tegner linien, der dannes af punkterne. y = 2 · x – 5 x y -2 3 7 -9 -5 1 9

Eksempler på problemer … der giver lineære funktioner: Peter køber mælk i supermarkedet. Mælken koster 7,50 kr/liter. Til at bære mælken hjem køber Peter en bærepose til 3,00 kr. Peter kommer af med: y = 7,5 · x + 3 Maj går på diskotek. Entreen koster 50 kr. Maj drikker kun sodavand hele aftenen. Sodavand koster 18 kr/stk. Maj kommer i alt af med: y = 18 · x + 50 Hans skal med bussen – og han skal gerne have sin cykel med. Prisen er 8 kr/takstzone. Det koster derudover 35 kr at have cyklen med bussen. Hans kommer i alt af med: y = 8 · x + 35 Erna køber nogle pakker chips til 20 kr/pakke. Hun indløser samtidig en flaskebon, der lyder på 36,50 kr. Erna skal i alt af betale: y = 20 · x – 36,5 Kurt kører med taxa. Takstprisen er 24 kr/km og dertil kommer startgebyr på 30 kr. Kurt kommer af med: y = 24 · x + 30

Opgave 5 + 6 Lav situationer som kan beskrives med en ret linje. Når historierne er nedskrevet bytter man med et anden gruppe. Den anden gruppe skal nu skrive forskriften for den lineære funktion.

Skæringspunkt mellem to linjer Situationer, hvor det er relevant: Hvornår kan det bedst betale sig at benytte sig af henholdsvis tilbud 1 og tilbud 2 Antal skæringspunkter To lineære funktioner har enten 1 eller 0 skæringspunkter Et skæringspunkt kan man aflæse eller man kan beregne det.

Eksempel på situation med skæringspunkter Du skal med taxa. Byens taxa koster 3 kr./km Oles taxa koster 1 kr./km + 20 kr. i startgebyr. Hvornår kan det bedst betale sig at køre med Byens taxa?

Aflæsning af skæringspunkter Problemet ved en aflæsning af skæringspunkter i et koordinatsystem er, at man ikke kan være præcis nok; heller ikke når man arbejder på f.eks. et millimeterpapir, der trods alt er mere præcist end almindeligt kvadreret papir.

Beregning af skæringspunktet Beregning af skæringspunktet sker ved ligningsløsning, og metoden er den samme – uanset hvilken type af funktion, der er tale om! – Blot kan vi komme ud for flere forskellige typer af ligninger! Grundideen er at udnytte, at to givne funktioner i netop deres skæringspunkt (og kun der!) har samme x–værdi og y-værdi

Skæring mellem to linjer. Find x-værdien Tilbud 1: Y1 = a1x1+b1 Tilbud 2: Y2 = a2x2+b2 De linjer skærer hinanden, hvor de ved samme x-værdi også har samme y-værdi (Y1 =Y2). Y1 =Y2 Sæt de to funktioner lig hinanden a1x1+b1 = a2x2+b2 Isoler x a1x1 = a2x2+b2 - b1 Husk a og b er tal og x er en ubekendt a1x1 + a2x2 = b2 - b1 (a1 + a2) x = b2 - b1 x = (b2 - b1) : (a1 + a2)

Skæringen mellem to linjer. Find y-værdien Vi har nu fundet x-værdien for skæringspunktet (x,y) Find y-værdien: Den fundne x-værdi indsættes i en af forskrifterne (for enten tilbud 1 eller tilbud 2). Man vil derved beregne y værdien til skæringspunktet. Man skal altså finde et koordinatsæt (x , y)

Beregning af skæringspunkt Eksempel 1 To lineære funktioner Tilbud 1: y1= 1x1 + 3 Tilbud 2: y2= 3x2 + 0,5 Tilbud 1 = tilbud 2 y1 = y2 De to tilbud sættes lig hinanden, da de skærer hinanden i netop et punkt. 1x1 + 3 = 3x2 + 0,5 Vi har nu en ligning, hvor vi skal isolere x 3-0,5 = 3x – 1x 2,5 = 2x 2,5 : 2= x x= 1,25 Y-værdien: y1= 1x1 + 3 y1 = 1 * 1,25 + 3 y1 = 4,25 Skæringspunkt = (1,25 ; 4,25)

Beregning af skæringspunkt Eksempel 2 To lineære funktioner Opgave: Beregn skæringspunktet mellem de to lineære funktioner: y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2

Beregning af skæringspunkt Eksempel 2 To lineære funktioner Opgave: Beregn skæringspunktet mellem de to lineære funktioner: y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2 Løsning: Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2, er 3·x – 5 = –0,5·x + 2

Beregning af skæringspunkt Eksempel 2 To lineære funktioner Opgave: Beregn skæringspunktet mellem de to lineære funktioner: y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2 Løsning: Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2, er 3·x – 5 = –0,5·x + 2 <=> 3·x + 0,5·x = 2 + 5

Beregning af skæringspunkt Eksempel 2 To lineære funktioner Opgave: Beregn skæringspunktet mellem de to lineære funktioner: y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2 Løsning: Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2, er 3·x – 5 = –0,5·x + 2 <=> 3·x + 0,5·x = 2 + 5 <=> 3,5·x = 7

Beregning af skæringspunkt Eksempel 2 To lineære funktioner Opgave: Beregn skæringspunktet mellem de to lineære funktioner: y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2 Løsning: Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2, er 3·x – 5 = –0,5·x + 2 <=> 3·x + 0,5·x = 2 + 5 <=> 3,5·x = 7 <=> x = 2

Beregning af skæringspunkt Eksempel 2 To lineære funktioner Opgave: Beregn skæringspunktet mellem de to lineære funktioner: y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2 Løsning: Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2, er 3·x – 5 = –0,5·x + 2 <=> 3·x + 0,5·x = 2 + 5 <=> 3,5·x = 7 <=> x = 2 y-værdien i skæringspunktet findes ved at indsætte x=2 i det ene af de to funktionsudtryk: y = 3·2 – 5

Beregning af skæringspunkt Eksempel 2 To lineære funktioner Opgave: Beregn skæringspunktet mellem de to lineære funktioner: y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2 Løsning: Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2, er 3·x – 5 = –0,5·x + 2 <=> 3·x + 0,5·x = 2 + 5 <=> 3,5·x = 7 <=> x = 2 y-værdien i skæringspunktet findes ved at indsætte x=2 i det ene af de to funktionsudtryk: y = 3·2 – 5 = 6 – 5 = 1

Beregning af skæringspunkt Eksempel 2 To lineære funktioner Opgave: Beregn skæringspunktet mellem de to lineære funktioner: y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2 - skæringspunktet er (2,1) Løsning: Da y = 3·x – 5 og y = –0,5·x + 2, er 3·x – 5 = –0,5·x + 2 <=> 3·x + 0,5·x = 2 + 5 <=> 3,5·x = 7 <=> x = 2 y-værdien i skæringspunktet findes ved at indsætte x=2 i det ene af de to funktionsudtryk: y = 3·2 – 5 = 6 – 5 = 1

skæringspunktet er (2,1)