Udsagn (propositioner) Definition Et udsagn er en sætning, som enten er sand eller falsk. Eksempler a) “Jorden er en planet” b) “Månen er lavet af grøn ost” c) “Hvad er klokken?” d) “Din lærer er klog” sandt udsagn falsk udsagn ikke et udsagn ikke et udsagn (evt. en tautologi) FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1

Åbne udsagn Følgende er ikke udsagn: x2 < 4 a2 + b = 3 “Hun har aldrig været i fængsel” De har ikke en sandhedsværdi før x, a, b og “hun” har fået tildelt værdier fra passende grundmængder. x, a, b og ”hun” er frie variable. 1.- 3. kaldes åbne udsagn FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1

Sammensatte udsagn – logiske operationer Konjunktion (og) : A  B Disjunktion (eller) : A  B Negation (ikke) : ¬ A Implikation (medfører) : A  B (Martin skelner mellem: ‘→’ og ‘’, hvor ‘→’ anvendes mellem logiske variable, og ‘’ anvendes mellem udsagn. Ofte er det ikke nødvendigt at skelne.) Biimplikation (ensbetydende) : A  B Nogle gange bruges A ≡ B. (Martin skelner (som ved ‘’) mellem A ↔ B og A  B, men det har ikke stor praktisk betydning) FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1

Sandhedstabel A B A  B A  B ¬ A ¬ B A  B A  B s s s s f f s s Det eneste underlige er implikationen ....... A B A  B A  B ¬ A ¬ B A  B A  B s s s s f f s s s f f s f s f f f s f s s f s f f f f f s s s s FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1

Implikation A : Sønnen spiser ikke sin rosenkål B : Faderen slår sønnen A  B : “Hvis du ikke spiser din rosenkål, så slår jeg dig!” A  B : “Hvis det er godt vejr, så ta’r vi i skoven!” A: ? B: ? FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1

Implikation Vigtig egenskab ved implikation: p  q ≡ (p)  q Vis ved sandhedstabel. FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1

”Sære” udsagn Tautologi: er altid sand: p  ¬ p true Modstrid: er aldrig sand: p  ¬ p false Hvis p er en tautologi, så er ¬p en modstrid FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1

de Morgans love a) ( A  B )  (A  B) ( A  B )  (A  B) (kendes muligvis fra Boolsk algebra) FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1

Bevis for de Morgan a) Sandhedstabel: A B AB (AB) A B AB s s s f f f f s f f s f s s f s f s s f s f f f s s s s Da de to søjler er ens, gælder formlen QED FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1

Propositioner og mængder Bemærk lighederne: konjunktion og fællesmængde disjunktion og foreningsmængde negation og komplementærmængde FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1

Regneregler – oversigt (jf. mængder) Kan vises ved sandhedstabeller FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1

Øvelser Martin 1.1 Fra Martin 3rd Ed.: FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1