En ærlig mønt kastes 5 gange Sandsynligheden for plat i ét kast er 0.5 Hvad er sandsynligheden for at få netop 2 plat i de 5 kast ? P(”2 plat”) = 10/32 = 0.3125 = 31.25% fordi…

ppppp ppppk pppkp pppkk ppkpp ppkpk ppkkp ppkkk Udfaldsrummet har 32 grundlæggende udfald Alle udfald er lige sandsynlige for en ærlig mønt ppppp ppppk pppkp pppkk ppkpp ppkpk ppkkp ppkkk pkppp pkppk pkpkp pkpkk pkkpp pkkpk pkkkp pkkkk kpppp kpppk kppkp kppkk kpkpp kpkpk kpkkp kpkkk kkppp kkppk kkpkp kkpkk kkkpp kkkpk kkkkp kkkkk

ppppp ppppk pppkp pppkk ppkpp ppkpk ppkkp ppkkk De 10 markerede udfald er hændelsen ”2 plat” P(”2 plat”) = 10/32 = 0.3125 = 31.25% ppppp ppppk pppkp pppkk ppkpp ppkpk ppkkp ppkkk pkppp pkppk pkpkp pkpkk pkkpp pkkpk pkkkp pkkkk kpppp kpppk kppkp kppkk kpkpp kpkpk kpkkp kpkkk kkppp kkppk kkpkp kkpkk kkkpp kkkpk kkkkp kkkkk

En skæv mønt kastes 5 gange Sandsynligheden for plat i ét kast antages at være lig med 0.4 Hvad er sandsynligheden for at få netop 2 plat i de 5 kast ?

ppppp ppppk pppkp pppkk ppkpp ppkpk ppkkp ppkkk Udfaldsrummet har 32 grundlæggende udfald Udfaldene er ikke lige sandsynlige (skæv mønt!) ppppp ppppk pppkp pppkk ppkpp ppkpk ppkkp ppkkk pkppp pkppk pkpkp pkpkk pkkpp pkkpk pkkkp pkkkk kpppp kpppk kppkp kppkk kpkpp kpkpk kpkkp kpkkk kkppp kkppk kkpkp kkpkk kkkpp kkkpk kkkkp kkkkk

ppppp ppppk pppkp pppkk ppkpp ppkpk ppkkp ppkkk De 10 markerede udfald er hændelsen ”2 plat” P(”2 plat”) = P(ppkkk) + P(pkpkk) + … + P(kkkpp) ppppp ppppk pppkp pppkk ppkpp ppkpk ppkkp ppkkk pkppp pkppk pkpkp pkpkk pkkpp pkkpk pkkkp pkkkk kpppp kpppk kppkp kppkk kpkpp kpkpk kpkkp kpkkk kkppp kkppk kkpkp kkpkk kkkpp kkkpk kkkkp kkkkk

Hvordan finder man P(pkpkk) ? Vi går ud fra at de enkelte kast er indbyrdes uafhængige! Hvis A og B er uafhængige hændelser er P(A og B) = P(A) · P(B) Hvis A, B og C er uafhængige hændelser er P(A og B og C) = P(A) · P(B) · P(C) osv.

Man finder derfor P(pkpkk) således: P(pkpkk) = P(plat i 1. kast) · P(krone i 2. kast) · P(plat i 3. kast) · P(krone i 4. kast) · P(krone i 5. kast) Hvis sandsynligheden for plat i ét kast er 0.4 fås P(pkpkk) = 0.4 · 0.6 · 0.4 · 0.6 · 0.6 = 0.03456 Nu er vi klar til at finde P(”2 plat”)

P(ppkkk) = 0.4 · 0.4 · 0.6 · 0.6 · 0.6 = 0.42 · 0.63 P(pkpkk) = 0.4 · 0.6 · 0.4 · 0.6 · 0.6 = 0.42 · 0.63 P(pkkpk) = 0.4 · 0.6 · 0.6 · 0.4 · 0.6 = 0.42 · 0.63 P(pkkkp) = 0.4 · 0.6 · 0.6 · 0.6 · 0.4 = 0.42 · 0.63 P(kppkk) = 0.6 · 0.4 · 0.4 · 0.6 · 0.6 = 0.42 · 0.63 P(kpkpk) = 0.6 · 0.4 · 0.6 · 0.4 · 0.6 = 0.42 · 0.63 P(kpkkp) = 0.6 · 0.4 · 0.6 · 0.6 · 0.4 = 0.42 · 0.63 P(kkppk) = 0.6 · 0.6 · 0.4 · 0.4 · 0.6 = 0.42 · 0.63 P(kkpkp) = 0.6 · 0.6 · 0.4 · 0.6 · 0.4 = 0.42 · 0.63 P(kkkpp) = 0.6 · 0.6 · 0.6 · 0.4 · 0.4 = 0.42 · 0.63 P(”2 plat”) = P(ppkkk) + P(pkpkk)+ … + P(kkkpp) P(”2 plat”) = 10 · 0.42 · 0.63 = 0.3456

eller anderledes formuleret: En skæv mønt kastes 5 gange Sandsynligheden for plat i ét kast er 0.4 Hvad er sandsynligheden for at få netop 2 plat i de 5 kast ? eller anderledes formuleret: Lad X betegne antal plat i de 5 kast Hvad er P(X=2) ? Hvad er sandsynlighedsfordelingen for X ? dvs. hvad er P(X=0), P(X=1), P(X=2), … osv.

Der er to parametre vi er interesseret i at kunne ændre: Sandsynligheden for plat i ét kast (basissandsynligheden) Antallet af kast

eller anderledes formuleret: En mønt kastes 5 gange Sandsynligheden for plat i ét kast er 0.4 sandsynlighedsparameter Hvad er sandsynligheden for at få netop 2 plat i de 5 kast ? eller anderledes formuleret: Lad X betegne antal plat i 5 kast Hvad er P(X=2) ?

eller anderledes formuleret: En mønt kastes 5 gange Sandsynligheden for plat i ét kast er 0.4 antalsparameter Hvad er sandsynligheden for at få netop 2 plat i de 5 kast ? eller anderledes formuleret: Lad X betegne antal plat i 5 kast Hvad er P(X=2) ?

eller anderledes formuleret: En mønt kastes 5 gange Sandsynligheden for plat i ét kast er 0.4 Hvad er sandsynligheden for at få netop 2 plat i de 5 kast ? eller anderledes formuleret: Lad X betegne antal plat i 5 kast Hvad er P(X=2) ? et muligt antal plat

eller anderledes formuleret: En mønt kastes 5 gange Sandsynligheden for plat i ét kast er 0.4 Hvad er sandsynligheden for at få netop 2 plat i de 5 kast ? eller anderledes formuleret: Lad X betegne antal plat i 5 kast Hvad er P(X=2) ? Ved brug af Faktaboks 6 og 5 i grundbogen: P(X=2) = K(5,2) · 0.42 · (1-0.4)5-2 = 0.3456

P(X=r) = K(n,r) · pr · (1-p)n-r En mønt kastes n gange Sandsynligheden for plat i ét kast er p Hvad er sandsynligheden for at få netop r plat i de n kast ? Lad X betegne antal plat i n kast P(X=r) = K(n,r) · pr · (1-p)n-r K(n,r) = antal måder r elementer kan vælges blandt en mængde med n elementer