Probabilistisk sårbarhedsanalyse Thomas Mejer Hansen Invers Modellering og Geostatistik Projektet http://imgp.gfy.ku.dk

.... bidrag fra ... Data og problemstilling Rambøll A/S, Lars Lønstrup Nicolaisen Lars Møller Marcussen Integrering af geofysiske data Klaus Mosegaard Albert Tarantola Andre Journel

IMGP Invers Modellering og Geostatistik Projektet Mål : Sammenkoble invers teori og geostatistik. http://imgp.gfy.ku.dk/

kombination af information A TEM geofysik PACES tomografi log geostatistik Samlet model Typisk er der flere former for information om et reservoir tilstede. F.eks. flere former for geofysiske måling, samt målinge i borehuller. Desuden er en mængde geologisk viden tilgæbgelig. Både i form af ekspertviden og i form af kort over geologiske parametre. Det meste af denne information bliver typisk behandlet seperat, og en geolog skal manuelt prøve at sammenholde resultater fra alle 'metoder' i én model. expert viden data/information data behandling model

kombination af information B geofysik Sekventiel sampling log Typisk er der flere former for information om et reservoir tilstede. F.eks. flere former for geofysiske måling, samt målinge i borehuller. Desuden er en mængde geologisk viden tilgæbgelig. Både i form af ekspertviden og i form af kort over geologiske parametre. Det meste af denne information bliver typisk behandlet seperat, og en geolog skal manuelt prøve at sammenholde resultater fra alle 'metoder' i én model. expert viden data/information data behandling probabilistisk analyse probabilistisk model realisationer

kombination af information B geofysik Sekventiel sampling log Typisk er der flere former for information om et reservoir tilstede. F.eks. flere former for geofysiske måling, samt målinge i borehuller. Desuden er en mængde geologisk viden tilgæbgelig. Både i form af ekspertviden og i form af kort over geologiske parametre. Det meste af denne information bliver typisk behandlet seperat, og en geolog skal manuelt prøve at sammenholde resultater fra alle 'metoder' i én model. expert viden data/information data behandling probabilistisk analyse probabilistisk model realisationer

kvantificering af information Alt information beskrives ved hjælp af sandsynligheds fordelinger !!

kvantificering af information Prob ( A | Brønddata og Geologiske kort) Prob ( A | Brønddata og rumlig model) Prob ( A | Geofysik ) Prob ( A | Brøndata, GeoKort, GeoFysik ) Læg kun den information ind I modellen du er sikker på !

eksempel fra Suså 2 problemstillinger Udbredelsen af sandlag 2 Lokalisering af sandvinduer

Suså data – Brønd data 700 boringer med oplysninger om ler/sand indhold, antal sandlag, tilstedeværelsen af 3 identificerede sandlag Samlet mængde ler og sand

Suså data – Geologisk information diskrete kort

Suså data – Geologisk information kontinuerte kort

Suså data – Geologisk information diskretiserede kontinuerte kort (3 zoner)

probabilistisk model for udbredelsen af sandlag 2

udbredelsen af sandlag 2 hvor kan man forvente at finde sandlag 2 ? er der forbindelse mellem sandlag 2 observeret i boring A og B ? Boring B Boring A

udbredelsen af sandlag 2 hvor kan man forvente at finde sandlag 2 ? er der forbindelse mellem sandlag 2 observeret i boring A og B ?

eksistensen af sandlag 2 Statistik fra geologiske kort + brønddata Prob(S2) Prob(S2 | kort1), Prob(S2 | kort2 ) ... Prob(S2 | kort1, kort2, ... ) Rumlig sammenhæng (geostatistik) Kriging/simulering ud fra brønddata) Probkrig ( S2 | Brønd) Kriging/simulering ud fra brønddata og geokort Probkrig ( S2 | Brønd, GeoKort)

sandsynligheden for S2 dvs. som en grov 1. approximation er sandsynligheden 18% for at sandlag 2 er tilstede

Suså – S2 – 1D betingede Probs SKIFT BILLEDE TIL 3 ZONER Ud fra 1D marginal fordelingerne kan man tydeligt se at nogle parametre udviser nogle generelle trends. Og, vi kan se at noglle parametre ingen information indeholder overhoevedet (8,9,10) da de alle blot angiver P(S2|A8=1)=P(S2|A9)=P(S2)=0.18

Suså – S2 – 1D betingede Probs

Suså – S2 – Prob Kort (3 zoner)

Suså – S2 – Prob Kort (5 zoner)

ND SSF fra 1D marginaler Begrænset antal målinger – typisk ikke nok til at danne en d-dimensionel statistisk model 1D marginal fordelinger kan meget ofter bestemmes Vi arbejder med to metode til at kombinere 1D marginaler til een konsistent ND dimensionel SSF : Tau model (Journel, 2003) Marginal tomography (Mosegaard og Hansen) TJECK BRUGEN AF MARGINAL

kvantificering af information uafhængige observationer P(A|B,C)=P(A|B)*P(A|C)/P(A) (Bayes formel) afhængige P(A|B,C)=F( P(A) , P(A|B) , P(A|C) , tau ) (Tau model; Journel 2003) P(A|B,C)=F( P(A) , P(A|B) , P(A|C) ) (Mosegaard og Hansen)

betingede sandsynlighed ud fra geologiske kort - opsummering Man kan opstille en (grov) model for sammenhængen mellem geologiske parametre og en egenskab i undergrunden. Hvis der er mange data, kan man direkte opstille ret detaljerede modeller. Hvis der er få data, må man kombinere 1D marginaler til en samlet ND SSF Men,, sådanne kort giver kun ...

A : geostatistisk model for udbredelsen af sandlag 2 B : som A med brug af modellen opstillet med geologiske kort

Sekventiel Simulering Kriging : Kriging er en teknik til at I et punkt at bestemme en betinget sandsynligheds fordeling (typisk normalfordelt) Prob[x,y,z](A | observationer ) Man skal bruge en model for Middelværdi, varians og kovarians Sekventiel Simulering Er en teknik der generer 3D realisationer af …

VI vil se på to modeller for udbredelsen Baseret på konstant middelvædi (forventning er den samme I hele området) Baseret på den middelværdi/forventning vi fastslog ved brug af geologiske kort

S2 : Kriging tilgang – forventning/middelværdi Prob(S2|brønddata)=0.18 Prob(S2|Brønd,Geo)

s2 – semivariogram analyse Sph Exp

s2 – kriging middel Kriging konstant middel Kriging varierende

s2 - kriging varians Kriging konstant middel Kriging varierende

s2 – kriging middel en loesning En kriget middel flade er IKKE en ‘loesning’, men middelvaerdien af alle loesninger ! Men, kriging middel + varians beskriver tilsammen den lokale usikkerhed/sandsynligheds fordeling

s2 – forbindelse ? A B sandsynligheden for at s2 er tilstede kan nu bestemmes i hvert punkt. men, hvad med sandsynligheden for at s2 er forbindet mellem boring A og B ? sekventiel simulering

s2 – realisationer (med geokort)

Kriging med kendt middel simulering Sandsynligheden for at Sandlag 2 er forbundet mellem punkt A og B Prob (S2,A<->B| brønd,geokort) = 23/100 = 0.23 !

probabilistisk model for udbredelsen sandvindue

Lokalisering af sandvinduer 0-10 meter ler ringe beskyttelse sand-vindue 10-60 meter ler rimelig beskyttelse 60-> meget god beskyttelse God beskyttelse Sand vindue

Sandsynligheden for SandVindue dvs en sandsynlighed på 22% for at der er et sandvindue et tilstede.

1D conditionals

prob model for udbredelsen af sand vindue ud fra geologiske kort

semivariogram – sand vindue

sandvindue : kriging kriging middel uden geokort med geokort Ikke megen forskel..... og dog. Når de gologiske kort bruges bliver opdelingen i omrpåder lidt skarere. F.ex kan iv nu plotter 90% fraktilen for at sandvinduet ikke eksisterer som :

sandvindue : kriging områder med Prob(Svindue)<0.1 uden geokort med geokort Ikke megen forskel..... og dog. Når de gologiske kort bruges bliver opdelingen i omrpåder lidt skarere. F.ex kan iv nu plotter 90% fraktilen for at sandvinduet ikke eksisterer som :

Inkludering af geofysiske data i geostatistisk simulering

Seismisk tomografi – reference model Gaussian distribution of velocity field : Vmean = 5 km/s σ = 0.1km/s (isotrop) kovariance model : 0.1 Sph (0.4) Before we get to the theoretical aspects of our work, I would like to introduce to you the example data set that I will use throughout this talk. I will introduce it here to illustrate what the current GAP between linear inverse theory and geostatistics is. We start simple, so we have generated one realization of a Gaussian random field mimicking a velocity field, with mean 5km/s and variance 0.1km/s. An isotropic covariance model with a range of 400m and a sill of 0.1 was used to create the reference velocity field. This will be our TRUE velocity model for all subsequent simulations.

Seismisk tomografi – 2 datasæt Type A data (point data) log data Type B data. (volume gennemsnits data) Tomografi data I will also introduce to you two types of data observations : The figure to the left show the reference velocity field with indications of locations where the velocity is deictly samples, i.e. geostattistical hard data. Such data are typical for geostatistical problems. The two columns of known values should mimick boreholes. To the right the figure shows a situation where cross borehole tomographys has been applied. That is at 5 locations in the left well ,exlosions generate waves that propagates aling the lines ilsutrates above. Such data can be seen as volume average measurement, where one measures the mean velocity within each volume, which in this cas is the mean velocity along the ray. To Sum,,, We deal with two types of data. Type : Direct measuerements of model parameters (that is, hard data), and type B : Linear averages of model parameters. In the next slide I will show how data of type A are typically treated in geostatistics, and how data of type B are typically treated in Linear Inverse Thero (specifically tomography)

Seismisk tomografi - typiske resultater Geostatistisk tilgang Sekventiel Gaissisk Simulering betinget på brønddata Lineær invers teori Least squares løsning til et lineært inverst problem betinget paa straaledata og brønddata. mest CM,est Geostat : One realisations conditioned to the well log data : A priori Coavariance model is reproduced, as well as histogram LIN IT : Well log data and geophysical data are honoured, but the a priori information is NOT. This is NOT a solution but simply the pointwise mean and variance of the a posteriori PDF. RIGHT : This is not a solution to an the inverse problem. This is mandatory to get across. The mean and variance describe exacactly the a posteriori distribution, but a solutions is a SAMPLE from this a posteroiPDF. THUS. How do we generate such sample ?>

Seismisk tomografi SGSIM (samples) Ref model + data

Seismisk tomografi : 4 stråler samples Ref model + data

Seismisk tomografi : 25 stråler samples Ref model + data

Seismisk tomografi : 64 stråler samples Ref model + data

Seismisk tomografi Etype – LSQ middel 0 Rays 4 Rays 25 Rays 64 Rays Pointwise mean Etype Simple Kriging ! The top 4 figures show Least squares mean

Seismisk tomografi Statistik af realisationerne Korrekt a-priori 2-punkt statistik Covariance Semivariance Velocity field distribution Data reproduction

kriging/simulering med geofysiske data Ved at bruge sekventiel sampling kan man generere en række realisationer fra a posteriori fordelingen af et lineært inverst problem !! DVS modeller med en ‘rigtig’ rumlig fordeling. Den sekventielle fremgangsmaade goer at en man loeser mange smaa lineaere systemer, istedet for eet stort. Derfor er det mulight at loese meget store problemer, og have mange forskellige slags data Man kan ‘noejes’ med kun at generere samples I en del af modellen ! En serie af realisationer er ideel som basis for en saarbarheds analyse. (evt sammen ved SSV)

Geofysiske data + Geostatistik kortlægning vest for Århus Kan sekventiel sampling anvendes her ? En serie af realisationer af 3D resistiviteter  grundvands model/sårbarheds analyse Dette kort viser et kort over toprafien i en del af Århus Amt, og lokaliseringen af brønd data, og geofysiske data. VI vil gerne være i stand til at unkludere al denne information i én konistnet model. Vi har udviklet en metode der kan bruges til at generele løsninger af lineære inverse problemer som er DVS de er IKKE bløde middel modeller, og de generede modeller er konsistente med både geostat, brønde, rumlig model, og blødere information i form a betingede PDF

Forslag til 3D simulering betinget på brøndata og geofysik Enhver TEM, PATEM, SkyTEM, ..... måling kan ses som et en vægtet middelværdi et et område/volumen (apparent resistivitet) ! Møller et. al. (XX)

Forslag til 3D simulering betinget på brøndata og geofysik linearisering beregne 3D følsomhedskerner ud fra allerede inverterede data. Benytte disse følsomheds kerner som midlingskerner mangler effektiv metode til at beregne følsomheds kerner Møller et. al. (XX)

Fordel ved brug af simulering til løsning af inverse problemer Inversion af flere geofysiske data på én gang Modeller med den rigtige rumlige fordeling generes ('ikke bløde' modeller) flow modellering på realistiske sand/ler fordelinger Selv MEGET store data sæt kan behandles Geologiske constraints kan inkluderes (viden om bestemte features som f.eks laggrænser), geologisk expert viden,…

Opsummering Observationer beskrevet ved betingede sandsynligheds fordelinger kan samles i én konsistent sandsynligheds model Alle observationer er beskrevet some en sandsynligheds fordeling Fornemmelser/expert viden kan inkluderes. Realistiske modeller for et grundvands reservoir kan opstiller Sårbarhedkort vil kunne genereres der er konsistent med logs, geologi OG geofysik !!

... tak for opmærksomheden... og husk http://imgp.gfy.ku.dk/