Induktionsbevis AM 2010
INDUKTION – generalisering ud fra specialtilfælde Eks. I Fremskrivningsformlen ved en fast vækstrate r pr. trin. Startværdi = b Værdi efter n fremskrivninger = Kn K1 = b + r b = (1 + r) b Man fremskriver ved at gange med (1 + r) K2 = (1 + r) K1 = (1 + r) (1 + r) b = (1 + r) 2 b K3 = (1 + r) K2 = (1 + r) (1 + r) 2 b = (1 + r) 3 b Generalisering: Kn = (1 + r) n b ...... tror vi da Eks. II 2 2 = 2 + 2 = 22 Generalisering: addition, multiplikation og potensopløftning er samme operation. .... nej, vel
Lad Pn, nN være et udsagn, så gælder: Sætning Lad Pn, nN være et udsagn, så gælder: P1 er sand (Pn Pn+1, nN ) Pn er sand nN ”Oversat”: HVIS en påstand gælder på 1. trin OG HVIS påstanden gælder på trin n, så kan man vise, at det også gælder på næste trin (n+1) SÅ gælder påstanden for alle naturlige tal n
Trin n+1 Trin n Trin 1
Trin n+2 Trin n+1 Trin n Trin 2 Trin 1
Bevismetoden INDUKTION Vis, at sætningen gælder for n = 1 Antag, at sætningen gælder for n og vis, så, at den dermed også gælder for n+1
Sætning: Kn= K0 (1+r)n n=1: K1= K0+rK0 = K0 (1 + r) = K0 (1 + r)1 Reglen gælder altså ved et starttrin på 1 Antag at Kn= K0 (1+r)n er sandt for et trin n Kn+1 = Kn (1 + r) = K0 (1+r)n (1 + r) Potensregel P1 = K0 (1+r)n+1 dvs. at sætningen dermed også gælder for n+1 Da de to betingelser i induktionsbeviset er opfyldt, gælder sætningen altså for alle nN
Sætn.: (xn)’ = n xn-1, for nN (x)’ = 1 x0 (x)’ = 1 Reglen gælder altså ved et starttrin på 1 Antag at (xn)’ = n xn-1 er sandt for et trin n (xn+1)’ = (x xn)’ = 1 xn + x n xn-1 Produktreglen = 1xn + nxn = (1+ n)xn = (n + 1)xn Potensregel P1: x1 xn-1 = xn xn sættes uden for parentes dvs. at sætningen dermed også gælder for n+1 Da de to betingelser i induktionsbeviset er opfyldt, gælder sætningen altså for alle nN for aR Man kan med en anden metode vise, at (xa)’ = a xa-1