Andengradsfunktioner

Tillægsspørgsmål: Tillægsspørgsmål 1: Redegør for, hvordan man bestemmer toppunktet for en parabel. Tillægsspørgsmål 2: Redegør for hvordan andengradsfunktioner kan anvendes i forbindelse med beskrivelse af omsætningen af en vare. Tillægsspørgsmål 3: Redegør for sammenhængen mellem andengradsfunktionen og kvadratrodsfunktionen – og forklar hvordan man differentierer en af disse funktioner Tillægsspørgsmål 4: Redegør for de forskellige muligheder for optimums placering i forbindelse med kvadratisk optimering med to kvadratiske funktioner – og forklar hvordan man bestemmer optimum Tillægsspørgsmål 5: Redegør for hvordan man beregner nulpunkterne for en andengradsfunktion

Disposition Forskriften, samt parametrenes betydning Toppunktet for en parabel Omsætningen af en vare. Sammenhæng mellem andengradsfunktionen og kvadratrodsfunktionen Optimums placering Nulpunkter for en parabel

Forskrift samt parametrenes betydning a = Hældnings koefficienten - smal eller bred. Konkav eller konveks. b = Placeringen i koordinatsystemet. c = Skæringen på y-aksen.

Toppunktet for en andengradsfunktion Der hvor grafen vender. Mindste eller største punkt. Løber igennem en lodret spejlings akse. Formlen for toppunktet: Eksempel

Omsætningen af en vare Omsætningens maksimum er toppunktet Toppunktsformlen kan anvendes Omsætningen er positivt i intervallet over x-aksen Findes ved at finde nulpunkterne

Sammenhæng mellem andengradsfunktionen og kvadratrodsfunktionen f(x)= så er f’(x) = Vi ser på de grafiske billeder af kvadratrodsfunktionen og andengradsfunktionen, da disse er spejlinger af hinanden i linjen y = x. Det betyder som bekendt også, at og x2 er hinandens omvendte funktioner

Sammenhæng mellem andengradsfunktionen og kvadratrodsfunktionen Vi ved at f’(x) betyder tangentens hældning i punktet (x, f(x)). En tangent er jo en almindelig ret linje, der derfor også har den rette linjens forskrift, hvor f'(x) = a angiver hældningen. Vi ser på en ret linje generelt og på den omvendte funktion til den vilkårlige rette line!

Optimums placering i forbindelse med kvadratisk optimering Kvadratisk optimering kan siges at være en kombination af beskrivelse af virksomhedens overskud/omsætning vha. andengradsfunktioner, samt lineær programmering. Selvom at lineær programmering og kvadratisk optimering langt hen af vejen er det samme, så er kritiefunktionen anderledes. Hvor at niveaulinjerne i lineær programmering er rette linjer, så bliver niveaulinjerne i kvadratisk optimering til cirkler/ellipser Ved kvadratisk optimering er der 3 muligheder for optimums placering: 1. Ellipsens centrum ligger inden for polygonområdet 2. Ellipsen/cirklen er placeret sådan, at den ved udvidelse vil ramme hjørnepunktet mellem to linjer. 3. Ellipsen /cirklen ligger sådan, at ved udvidelse så rammer cirkel/ellipsebuen en af linerne. .

Optimums placering i forbindelse med kvadratisk optimering Ellipsen ligger sådan, at ved udvidelse så rammer den en af linerne. Hvis at ellipsen ved udvidelse ikke rammer et skæringspunkt, men kun en af begrænsningerne, så ville det præcis røringspunkt være optimum. Ellipsens centrum ligger inden for polygonområdet Ved denne er optimum er centrum af cirklen/ellipsen.

Optimums placering i forbindelse med kvadratisk optimering Ellipsen er placeret sådan, at den ved udvidelse vil ramme hjørnepunktet mellem to linjer. Hvis at ellipsen ved udvidelse vil ramme et hjørnepunkt (altså skæringen af to begrænsninger) så findes optimum i dette hjørnepunkt.

Nulpunkter for en parabel Nulpunktsformlen: Diskriminanten: d = 0 → 1 nulpunkt d > 0 → 2 nulpunkter – Positiv. d < 0 → ingen nulpunkter - Negativ

Nulpunkter for en parabel Med udgangspunkt i følgende funktion med følgende forskrift: Eksempel: Nulpunkterne er dermed i 3 og -2