Økonometri 1: Heteroskedasticitet1 Økonometri 1 Heteroskedasticitet 27. marts 2003

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 2 Dagens program Emnet for denne forelæsning er Heteroskedasticitet (Wooldridge kap ) Konsekvenser af heteroskedasticitet Hvordan kan man teste i modeller med heteroskedasticitet? Korrektion af variansen af OLS estimatoren  I den simple lineære regressionsmodel  I den multiple lineære regressionsmodel (ved brug af matrixnotation)

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 3 Dagens program Test i modeller med heteroskedasticitet Test for heteroskedasticitet  Grafisk test  Breusch Pagan  White’s test

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 4 Konsekvenser af heteroskedasticitet (Uheldige) konsekvenser af heteroskedasticitet  Variansen af OLS estimaterne er ikke middelret  Konfidensintervallet er ikke rigtigt konstrueret  t og F-test er ikke nødvendigvis t og F-fordelt (og derfor er disse test ikke pålidelige)  LM test er ikke nødvendigvis CHI2-fordelt  OLS er ikke længere den bedste lineære middelrette estimator (BLUE)  Der findes en anden lineær middelret estimator med mindre varians  OLS er ikke længere asymptotisk efficient

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 5 Hvordan kan man teste i modeller med heterosk.? I modeller med heterosk. er test normalt problematisk Man kan dog stadig bruge OLS, hvis man kan korrigere standard fejlene for heterosk. Herved kan man så benytte heterosk. robuste t-, F- og LM test Disse test vil så være gyldige også i tilfælde af heterosk.

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 6 Hvordan kan man teste i modeller med heterosk.? Vi antager, at modellen lider af heterosk. af en ukendt form Dette kan formuleres som Vi antager altså, at hver enhed (individ, firma, land) har sin egen varians Dette er en generel måde at formulere heterosk. på (senere skal vi se specialtilfælde) Homoskedasticitet kan ses som et specialtilfælde hvor

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 7 Korrektion af variansen i en simpel lineær regressionsmodel Ideen med at korrigere for heterosk. er at variansen (og standard fejl) af OLS estimatoren er konsistent Først udregnes variansen af OLS estimatoren i en simpel lineær regressionsmodel For denne model antages, at MLR 1- MLR 4 er opfyldt Den betingede varians af fejlleddet er givet ved

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 8 Korrektion af variansen i en simpel lineær regressionsmodel Variansen af OLS estimatoren er givet ved Bevis: Tavlegennemgang

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 9 Korrektion af variansen i en simpel lineær regressionsmodel Bemærk, at i tilfælde med homoskedasticitet reduceres variansen til Udtrykket for variansen er altså korrekt, uanset om der er heterosk. eller ej Ideen er at finde en estimator for White (1980) har vist, at man kan finde en gyldig estimator under svage betingelser

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 10 Korrektion af variansen i en simpel lineær regressionsmodel Den gyldige estimator er givet ved hvor er OLS residualerne Variansen kaldes en heterosk. robust varians og standard fejlene baseret på denne varians for heterosk. robust standard fejl (disse standard fejl kaldes også White’s standard errors)

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 11 Korrektion af variansen i en multipel lineær regressionsmodel Tavlegennemgang (se vedlagt note)

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 12 Test i modeller med heteroskedasticitet Heterosk. robust t-test: Hypotese t-test hvor se er heterosk. robuste standard fejl t-teststørrelsen er approx. t-fordelt For små datasæt er t-teststørrelserne ikke nødvendigvis tæt på en t-fordeling

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 13 Test i modeller med heteroskedasticitet Heterosk. robuste F-test (eller det heterosk. robuste Wald test) Hypotese: hvor ß er en (k+1)x1 vektor af parametre og R er en q x(k+1) matrix og r er en q x1 vektor Teststørrelsen Teststørrelsen approx. er Chi-2 fordelt med q frihedsgrader

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 14 Test i modeller med heteroskedaticitet Heterosk. robuste LM-test Eksempel: Model Hypotese:

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 15 Test i modeller med heteroskedaticitet Procedure  Estimer den restr.model  Udregn OLS residualer  Regresser og dan residualerne  Udfør følgende regression  LM teststørrelsen er givet ved  LM-testet er under hypotesen Chi-2 fordelt med 2 frihedsgrader

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 16 Test for heteroskedasticitet Hvordan tester man for heteroskedasticitet? Antag følgende model  hvor antagelserne MLR 1-MLR4 er opfyldt Hypotese Alternativ formulering af hypotesen Hvis hypotesen er forkert er en funktion af x’erne

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 17 Test for heteroskedasticitet Grafiske test Estimer modellen med OLS Udregn OLS residualerne Plot residualerne eller de kvadrerede residualer mod de forskellige forklarende variable eller den forudsagte værdi af den afhængige variabel Se efter systematiske mønstre i residualerne

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 18 Test for heteroskedasticitet Hvis man antager en simpel lineær relation svarer hypotesen til Denne hypotese kan testes ved at erstatte de sande fejlled med OLS residualerne Testet udføres enten som et F-test eller et LM test For store datasæt vil F og LM test have den samme fordeling selvom man erstatter de sande fejlled med OLS residualerne

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 19 Test for heteroskedasticitet Regressionen (8.14) udføres og R 2 u for denne regression noteres F-teststørrelsen er givet ved Teststørrelsen er approx. F(k,n-k-1)-fordelt under nul hypotesen (homoskedasticitet)

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 20 Test for heteroskedasticitet LM teststørrelsen LM teststørrelsen er asymptotisk Chi-2 fordelt med k frihedsgrader Dette test er ofte kaldt Breusch-Pagan testet Specialtilfælde af BP-testet: Hvis man mistænker, at variansen kun afhænger af en bestemt variabel, kan testet udføres ved at regressere de kvadrerede residualer på den på gældende variabel. Bemærk at antallet af frihedsgrader er ændret for F-testet (antalfrihedsgrader: 1,n-1-1) og LM testet (Chi-2 med 1 frihedsgrad)

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 21 Test for heteroskedasticitet Procedure for Breusch-Pagan testet 1. Estimer den oprindelige model med OLS. Konstruer de kvadrerede OLS residualer 2. Regresser de kvadrerede residualer på de forklarende variable og et konstantled, noter R 2 fra denne regression 3. Udregn F eller LM størrelsen. Find testsandsynligheden. Er testsandsynligheden mindre end det valgte signifikansniveau forkastes hypotesen om homoskedasticitet

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 22 Test for heteroskedasticitet White’s test Man kan vise at teststørrelserne asymptotisk gyldige under svagere antagelser en homoskedasticitetet. Den svagere antagelse er: u skal være ukorreleret med alle forklarende variable (x j ), de forklarende variable i anden (x 2 j )og alle krydsprodukterne (x j x k ) White’s test tager udgangspunkt i denne svagere antagelse

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 23 Test for heteroskedasticitet Antage vi har en model med k=3 Hjælperegressionen for White’s test NB: 9 forklarende variable Hypotese Teststørrelsen findes som et LM test White’s test bedst for store datasæt

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 24 Test for heteroskedasticitet Alternativt White’s test Hjælperegression Hypotese LM testet konstrueres Fordelen ved dette test er at antallet af frihedsgrader er lavere

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 25 Test for heteroskedasticitet Husk alle disse test er udledt under forudsætning af, at antagelserne MLR 1-MLR 4 er opfyldt Hvis antagelse MLR 3 ikke er opfyldt kan man få at test for homoskedasticitet bliver afvist selvom antagelsen MLR 5 er opfyldt Så afvisning af homoskedasticitet skal skyldes misspecifikation