Signalbehandling og matematik 2 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 9. Design of digital IIR filters Ved Samuel Schmidt 1

Agend Design of Digital IIR filters Opfriskning af Analoge IIR filter Konvertering af analoge filter til digitale filter

IIR og FIR filtre IIR – Systemer med uendelige impuls respons har altid mindst en betydende pol (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) FIR – Systemer med endelige impuls respons har ingen betydende poler (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) General form: Invers transformation: Eksempel:

IIR vs FIR filter Hvorfor IIR filtre? – IIR filter har stejlere ”sidelobes” end et FIR filter med samme antal koefficienter. – Dermed hurtigere og mindre hukommelses krævende Hvorfor ikke ? – Et IIR filter har ikke lineær fase – Et IIR filter kan være ustabilt – ET IIR filter er mere sensitivt i for hold til afrundingsfejl

Design af digitale IIR filtre ved hjælp af IIR analoge filtre Specifikation af filteret i digitalt domæne Design filteret i det analoge domæne Implementer filteret i det digital domæne Konverter specifikationer til analogt Konverter det analoge filter til det digitale domæne

Navne af frekevnes variabler i kontinuær og diskret domæne Kontinuer signalerDiskrete signaler Frekvens:F (Hz)f=F/F s (Normaliseret frekvens) Vinkel hastighed :Ω=2πF (Radianer / sekund)ω=2πf (Radianer / sample) Konvertering Ω=ω/Tω=ΩT Afgrænsning-∞< Ω< ∞- π/T < ω<π/T T= samplings perioden

Laplace og z-transformation Z-transformtion

Analogt system på rational form Overførsles funktion i laplace domænet

Definitioner på filter

Typiske analoge IIR filter Butterworth Chebyshev Elliptic filters

Analogt Butterworth filter Er et ”all pole” filter – Kvadreret frekvens amplitude respons N:filter orden Ω c : 3dB knæk frekvens Laplace transformation Polerne vil ligge spejlet omkring den imaginære akse: Defineret ved

Stabile systemer in z og s domænet Z: Poler skal være i enhedscirklen Re Im 1 1 * 1/2 * 1/3 12 σ jΩjΩ 1 1 * 1/3 s: Poler skal være i venstre halvdel

3 metoder til konvertering af analoge IIR filtre til digitale IIR filtre Approksimation af afledte Impuls invarians Bilineær Transformation

Digitale IIR filtre ved hjælp af approksimation af afledte (1) Simple metode: – Analogt filter defineret ved differantial funktion – Til diskret differencs funktion

Digitale IIR filtre ved hjælp af approksimation af afledte (2) Simple metode: – Overførsels funktionen af dy(t)/dt i Laplace – Overførsels funktionen i diskret domæne – Sammenhæng mellem Laplace og z-transformation k th orden:

Sammenhæng mellem Laplace og z-transformation k th orden: Sammenhæng mellem overførsels funktion i Laplace og z domænet Digitale IIR filtre ved hjælp af approksimation af afledte (3)

Mapping fra s-plan til z-plan RealImg. Substituer s=jΩ Adskil den reelle del og den imaginære del S-planet mappes til et mindre område omkring den positive reelle akse

Begrænsning af approksimation af afledte S-planet mappes til et mindre område omkring den positive reelle akse Derfor er metoden kun velegnet til lavpas og båndpas filtre med lave knæk frekvenser

Eksempel Proakis

IIR filter ved hjælp af Impuls invarians Metode: Sample impuls responsen Implus respons fra analogt filter efter partial brøksopspaltning Samplet implus respons

genvej fra poler i s domænet til poler i z domænet (1/2) Ved at substituere i z- tranformationen fåes Z-transformtion

genvej fra poler i s domænet til poler i z domænet (2/2) Derfor gælder det at hvis laplace transformatioen har formen Har z-transformationen følgende form Derfor

Mapping fra s til z planet Punkt på s planet Fra s til z Punkt på z planet (polar form) Dermed har vi :

Aliasing af i frekvens spektrum a impuls respons Sammenhængen mellem Diskret og analogt frekvens spectrum Hvis: Så

Eksempel Proakis

Bilineær Transformation Bevis baseret på analog integrator:

Bilineær Transformation Ved den Bilineær Transformation sættes s lig med Det betyder at:

Karakteristika ved Bilineær Transformation (1) Sammenhæng mellem σ og ω Set z på polar form z=re jω σjΩjΩ σ jΩjΩ 1 1 Hvis r<1: er σ<0 Hvis r>1: er σ>0

Karakteristika ved Bilineær Transformation (2) Poler fra højre side i s-planet ligger udenfor enhedscirkelen. Modsat poler fra venstre side i s-planet som ligger indenfor enhedscirklen Re Im σ jΩjΩ 1 1

Karakteristika ved Bilineær Transformation (3) Sammenhæng mellem ΩT og ω

Karakteristika ved Bilineær Transformation (4) Re Im σ jΩjΩ 1 1

Eksempel