Algoritmer og Datastrukturer 2 Gerth Stølting Brodal Korteste Veje [CLRS, kapitel ]
Korteste Veje mellem alle Par af Knude v2v2 v4v4 v3v3 v5v5 v1v ∞ NIL d ij π ij
v2v2 v4v4 v3v3 v5v5 v1v ∞ NIL d ij π ij Tid O(n)
Tid O(n 3 ) L ij = korteste afstand fra i til j for stier med Δ kanter W = incidensmatricen L’ ij = korteste afstand fra i til j for stier med Δ+1 kanter v 1,...,v n vjvj vivi vkvk w kj l ik Δ kanter...
Tid O(n 3 )
Tid O(n 4 ) L (m) ij = korteste afstand fra i til j for stier med m kanter W = incidensmatricen diagonalen = 0 v 1,...,v n vjvj vivi vkvk w kj l ik Δ kanter...
Tid O(n 3 ·log n) L (m) ij = korteste afstand fra i til j for stier med m kanter W = incidensmatricen v 1,...,v n vjvj vivi vkvk l ik m kanter l kj m kanter...
Floyd-Warshall Tid O(n 3 ) d (k) ij = korteste vej fra i til j der kun går via 1..k v 1,...,v k-1 v k,...,v n vkvk vjvj vivi
Transitive Lukning (= Floyd-Warshall simplificeret) Tid O(n 3 ) t (k) ij = findes en vej fra i til j der kun går via 1..k v 1,...,v k-1 v k,...,v n vkvk vjvj vivi
Transitive Lukning: Eksempel
Opsummering Korteste Veje SSSP En-til-alle korteste veje APSP Alle-til-alle korteste veje Acykliske grafer (positive og negative vægte) O(n+m)O(n+m)O(n·(n+m)) Generelle grafer Kun positive vægte Dijkstra O((n+m)·log n) O(n 2 +m) Floyd-Warshall O(n 3 ) Positive og negative vægte Bellman-Ford O(m·n)