Algoritmer og Datastrukturer 2 Korteste Veje [CLRS, kapitel ]

Præsentationer af emnet: "Algoritmer og Datastrukturer 2 Korteste Veje [CLRS, kapitel ]"— Præsentationens transcript:

1 Algoritmer og Datastrukturer 2 Korteste Veje [CLRS, kapitel 25.1-25.2]
Gerth Stølting Brodal Korteste Veje [CLRS, kapitel ]

2 Korteste Veje mellem alle Par af Knude
dij πij 3 2 1 1 2 3 4 5 +∞ 7 1 2 3 4 5 NIL v3 v1 5 2 1 v4 v5 3

3 dij πij Tid O(n) 3 2 1 5 2 1 3 v2 v3 v1 v4 v5 1 2 3 4 5 +∞ 7 1 2 3 4 5
+∞ 7 1 2 3 4 5 NIL v3 v1 5 2 1 v4 v5 3

4 Lij = korteste afstand fra i til j for stier med Δ kanter
v1, ... ,vn vj ... vi lik Δ kanter vk wkj Lij = korteste afstand fra i til j for stier med Δ kanter W = vægtmatricen L’ij = korteste afstand fra i til j for stier med Δ+1 kanter Tid O(n3)

5 Extend shortest path = (min,+) matrix mulitiplication
Tid O(n3)

6 L(m)ij = korteste afstand fra i til j for stier med m kanter
v1, ... ,vn vj ... vi lik Δ kanter vk wkj diagonalen = 0 L(m)ij = korteste afstand fra i til j for stier med m kanter W = vægtmatricen Tid O(n4)

7

8 L(m)ij = korteste afstand fra i til j for stier med m kanter
v1, ... ,vn vj ... lkj m kanter vi lik m kanter vk L(m)ij = korteste afstand fra i til j for stier med m kanter W = vægtmatricen Tid O(n3·log n)

9 d(k)ij = korteste vej fra i til j der kun går via 1..k
Floyd-Warshall v1, ... ,vk-1 vk, ... ,vn vk vj vi d(k)ij = korteste vej fra i til j der kun går via 1..k Tid O(n3)

10 Transitive Lukning (= Floyd-Warshall simplificeret)
v1, ... ,vk-1 vk, ... ,vn vk vj vi t(k)ij = findes en vej fra i til j der kun går via 1..k Tid O(n3)

11 Transitive Lukning: Eksempel

12 Opsummering Korteste Veje
SSSP En-til-alle korteste veje APSP Alle-til-alle korteste veje Acykliske grafer (positive og negative vægte) O(n+m) O(n·(n+m)) Generelle grafer Kun positive vægte Dijkstra O((n+m)·log n) O(n2+m) Floyd-Warshall O(n3) Positive og negative vægte Bellman-Ford O(m·n)