Økonometri 1: Heteroskedasticitet1 Økonometri 1 Heteroskedasticitet 31. marts 2003

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 2 Dagens program Emnet for denne forelæsning er heteroskedasticitet (Wooldridge kap ) Konsekvenser af heteroskedasticitet Hvordan finder man en efficient estimator Weighted Least Squares med kendt heteroskedasticitet Ukendt form af heteroskedasticitet (som skal estimeres) Feasible GLS Den lineære sandsynlighedsmodel

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 3 Konsekvenser af heteroskedasticitet Ved sidste forelæsning blev det vist, at følgende uheldige konsekvenser af heterosk. kunne afhjælpes ved at bruge robuste variansestimater  Variansen af OLS estimaterne er ikke middelret  Konfidensintervallet er ikke rigtigt konstrueret  t og F-test er ikke nødvendigvis t og F-fordelt (og derfor er disse test ikke pålidelige)  LM test er ikke nødvendigvis CHI2-fordelt Nedenstående konsekvenser er derimod ikke afhjulpet ved robust estimation af variansen  OLS er ikke længere den bedste lineære middelrette estimator (BLUE)  Der findes en anden lineær middelret estimator med mindre varians  OLS er ikke længere asymptotisk efficient

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 4 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Er det muligt at finde en mere efficient estimator end OLS, når der er heterosk? Hvis heterosk. er kendt (op til en multiplikativ faktor), kan man finde en mere efficient estimator end OLS Den mere efficiente estimator giver F- og t- test, som er gyldige (fordelingerne af disse teststørrelser er F- og t-fordelt)

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 5 Hvorfor giver heteroskedasticitet inefficiente estimatorer? Eksempel Antal af nystartede virksomheder per indbygger i 2002 Data: danske kommuner Hvorfor kan der forekomme heterosk. i denne type model Hvorfor vil OLS ikke være BLUE?

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 6 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Heterosk. af en kendt form (op til en multiplikativ faktor) h(x) antages at være en kendt funktion af de forklarende variable h(x)>0 for alle mulige værdier af x’erne (varianser er altid positive) er en ukendt parameter Dette er et specialtilfælde af den generelle form af heterosk.

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 7 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Eksempel: Opsparing- indkomst Model: I dette tilfælde er h(x)=h(inc)=inc (variansen er positiv, da indkomsten er positiv) Variansen er proportional med indkomsten. Det betyder at variationen i opsparing stiger ved indkomsten Standard afvigelsen på u (betinget på indkomsten) er

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 8 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Ved at bruge informationen om heterosk. kan modellen transformeres til en ”ny” model, som ikke indeholder heterosk. Antag følgende multiple regressionsmodel (som opfylder antagelserne MLR 1- MLR 4) For hver observation kan h beregnes:

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 9 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Hvis man nu konstruerer et nyt fejlled som vil den betingede middelværdi være og den betingede varians vil være

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 10 Weighted Least Squares Vi kan dividere regressionsmodellen med Den transformerede model er Bemærk, modellen indeholder ikke længere et konstantled De nye forklarende variable har sjældent en meningsfuld fortolkning Parametrene er de samme som i den oprindelige model, og kan derfor estimeres

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 11 Den transformerede model opfylder nu antagelsen MLR 5 (homoskedasticitet) Antagelsen MLR 1 er også opfyldt, da modellen er lineær i parametrene Antagelsen MLR 2 er også stadig opfyldt (hvis stikprøven er udtaget tilfældigt til den oprindelige model, gælder det også for den transformerede model) Antagelsen MLR 3 er stadig opfyldt (se tidligere udregninger) Antagelsen MLR 4 er også stadig opfyldt Hvis antagelsen MLR 6 er opfyldt for den oprindelige model, gælder denne antagelse stadig Weighted Least Squares

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 12 Weighted Least Squares I den transformerede model gælder MLR 1-MLR 5 OLS estimatoren vil i den transformerede model være BLUE F- og t-test er gyldige for den transformerede model R 2 er sjældent meningsfuld OLS estimatoren af den transformerede model kaldes GLS (Generalized Least Squares) og vil normalt være forskellige fra OLS i den oprindelige model GLS estimatoren er mere efficient end OLS

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 13 Weighted Least Squares Parametrene estimeret med GLS skal stadig fortolkes som i den oprindelige model GLS estimatoren som er opnået ved at korrigere for heteroskedasticitet kaldes også for Weigted Least squares (WLS) Navnet hentyder til at estimaterne er opnåede ved at minimere de vægtede kvadrerede residualer

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 14 Weighted Least Squares

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 15 Weighted Least Squares Eksempel: (opsparing-indkomst) Transformerede model To forklarende variable og ingen konstantled

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 16 Weighted Least Squares Eksempel: Afhængige variabel er et gennemsnit (hvor de enheder som der tages gennemsnit over er af forskellig størrelse I disse modeller er heterosk. ofte relateret til gruppens størrelse I dette tilfælde skal vægtning være

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 17 Ukendt form af heteroskedasticitet (som skal estimeres) I de fleste tilfælde er den eksakte form for heterosk. ukendt (dvs. h er ukendt)..men i mange tilfælde kan h modelleres og efterfølgende estimeres Ved at benytte kan man igen transformere den oprindelige model I den transformerede model benyttes så OLS. Denne procedure kaldes Feasible GLS (FGLS)

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 18 Ukendt form af heteroskedasticitet (som skal estimeres)  Der findes mange måder at modellerer heterosk. Her er gennemgået en version  Antag at variansen er givet ved  Bemærk: variansen er altid positiv  Variansen er proportional med  For at kunne korrigere er det nødvendigt at kende værdien af parametrene

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 19 Ukendt form af heteroskedasticitet (som skal estimeres) Hvis variansen er givet ved (8.30) gælder der følgende Parametrene kan estimeres ved OLS ved følgende regressionsmodel Modellen opfylder MLR 1 –MLR 4, så OLS vil give middelrette estimatorer

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 20 Ukendt form af heteroskedasticitet (som skal estimeres) Når parametrene skal estimeres erstattes fejlledene med OLS residualerne Ud fra parameterestimaterne udregnes h WLS kan så udføres med Denne estimationmetode kaldes FGLS

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 21 FGLS Procedure for FGLS

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 22 FGLS Alternativ specifikation af variansen Hjælperegressionen i punkt 3 kan erstattes med Ud fra denne regression kan g og derefter h udregnes

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 23 FGLS Egenskaber ved FGLS FGLS er ikke middelret (og herved ikke BLUE) FGLS er konsistent FGLS asymptotisk mere efficient end OLS F- og t-test er asymptotisk F og t-fordelt

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 24 FGLS F-test med WLS Når man laver F-test med WLS er det vigtigt at både den restrikterede og den urestrikterede model er estimeret med de samme vægte Proceduren for F-test med WLS  Estimer den urestrikterede model med OLS  Udregn vægtene  Estimer den urestrikterede model med disse vægt  Estimer den restrikterede model med samme vægte  Udfør F-testet

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 25 FGLS Sammenligning af WLS og OLS OLS og WLS estimater kan være (meget) forskellige Hvis OLS og WLS er statistisk signifikant forskellige, bør man være varsom med at fortolke resultaterne. Dette kan være tegn på misspecifikation (specielt antagelse MLR 3 ikke opfyldt).

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 26 Lineære sandsynlighedsmodel I den lineære sandsynlighedsmodel er der heterosk. Da Det følger så direkte hvordan h skal konstrueres nemlig som Problem: det kan forekomme at

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 27 Lineære sandsynlighedsmodel I dette tilfælde  Brug heterosk. robust standard fejl  Eller erstat