KM2: F181 Kvantitative metoder 2 Heteroskedasticitet 11. april 2007

KM2: F182 Oversigt: Heteroskedasticitet OLS estimation under heteroskedasticitet (W.8.1-2): –Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS –Gyldige test på grundlag af OLS-estimation, selvom der er heteroskedasticitet: Korrektion af variansen –Generelle hypotesetest under heteroskedasticitet Test for heteroskedasticitet (W.8.3): –Grafiske test –Formelle test: Breusch-Pagan test, White test Bedre (mere efficiente) estimatorer end OLS, når der er heteroskedasticitet (W.8.4): –Weighted Least Squares (WLS) –Feasible Generalized Least Squares (FGLS) Lineær sandsynlighedsmodel (W.8.5)

KM2: F183 Heteroskedasticitet I kapitel 2 og 3 blev antagelsen om homoskedasticitet introduceret: Samme varians på fejlleddet for alle i Antagelsen kan være meget restriktiv i praksis. Derfor vil vi se på tilfælde med heteroskedasticitet MLR.5 er antagelsen om homoskedasticitet: Alternativ: Modellen lider af heteroskedasticitet af ukendt form: Vi tillader altså, at fejlleddet til hver enhed (individ, firma, land) har sin egen varians (meget generel form) Homoskedasticitet kan ses som det specialtilfælde, hvor

KM2: F184 Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS Hvis MLR.5 ikke er opfyldt, siger vi at fejlleddene er heteroskedastiske OLS estimatorens egenskaber ved heteroskedasticitet: +OLS stadig middelret og konsistent (givet MLR.1-4) -Variansen af OLS estimaterne estimeres ikke middelret eller konsistent af de sædvanlige OLS-udtryk -Konfidensintervallet er ikke rigtigt konstrueret -t og F-test er ikke nødvendigvis t og F-fordelt, LM test er ikke nødvendigvis fordelt (og derfor er disse test ikke pålidelige) –OLS er ikke længere den bedste lineære middelrette estimator (BLUE): Der findes andre lineære middelrette estimatorer med mindre varians –OLS er ikke længere asymptotisk efficient

KM2: F185 OLS-baserede test under heteroskedasticitet Heteroskedasticitet i fejlleddet betyder, at test der er baseret på OLS estimation kun er gyldige, hvis man korrigerer standardfejlene for heteroskedasticitet. Heteroskedasticitets-konsistente eller -robuste test. Modellen lider af heteroskedasticitet af ukendt form: White’s estimator for variansen af OLS estimatoren er konsistent selvom om der er heteroskedasticitet i fejlleddet.

KM2: F186 Hvornår forekommer heteroskedaticitet i praksis? Data består af størrelsesmæssigt meget heterogene enheder: Virksomheder, lande, skoler, … Data består af gennemsnit (over forskellige antal observationer) –Per capita værdier for forskellige lande –Gennemsnit fx for forskellige kommuner eller skoler Forkert funktionel form: –Hvis variansen på fejlleddet vokser med den afhængige variabel kan problemet nogen gange løses ved at lave en transformation med logaritmen –Lineær sandsynlighedsmodel Heteroskedasticitet knytter sig til den enkelte model og det enkelte datasæt

KM2: F187 Hvordan tester man for heteroskedasticitet? Antag følgende model hvor antagelserne MLR.1-MLR.4 er opfyldt Hypotese: Alternativ formulering af hypotesen Hvis hypotesen er forkert er en funktion af x’erne: Heteroskedasticitet Bemærk: Systematikken er i variansen på fejlleddet, ikke i middelværdien (givet at MLR.4 holder).

KM2: F188 Grafisk test for heteroskedasticitet Grafisk test: –Estimer modellen med OLS og gem residualerne –Plot residualerne (eller de kvadrerede residualer) mod: Forskellige forklarende variable: Kandidater er ”skalavariabler”, fx omsætning (virksomheder), indkomst (individer/husholdninger) Den forudsagte værdi af den afhængige variabel Se efter systematiske mønstre i spredningen af residualerne: –Variansen vokser i den variabel, der plottes imod: ”Trompet” –Variansen aftager i den variabel, der plottes imod: ”Omvendt trompet” –Varsom med at overfortolke, når der er forskel i datatæthed.

KM2: F189 Test for heteroskedasticitet: Breusch-Pagan Hvis man antager en simpel lineær relation svarer nulhypotesen om homoskedasticitet til Denne hypotese kan testes ved at erstatte de sande fejlled med OLS residualerne Testet udføres enten som et F-test eller et LM test For store datasæt vil F og LM test have de sædvanlige fordelinger selvom man har erstattet de sande fejlled med OLS residualerne.

KM2: F1810 Test for heteroskedasticitet: Breusch-Pagan Regressionen (*) udføres og R 2 u for denne regression noteres F-teststørrelsen er givet ved Teststørrelsen er approx. F(k,n-k-1)-fordelt under nulhypotesen (homoskedasticitet) LM teststørrelsen

KM2: F1811 Test for heteroskedasticitet Specialtilfælde af BP-testet: –Hvis man mistænker, at variansen kun afhænger af en bestemt variabel. –Testet udføres ved at regressere de kvadrerede residualer på den pågældende variabel. –Bemærk at antallet af frihedsgrader er ændret for både F- testet (antal frihedsgrader: 1,n-1-1) og LM testet ( ) Alternativt test: Whites test for heteroskedasticitet –Betingelsen kan erstattes af svagere betingelse: – skal være ukorreleret med alle forklarende variable, de forklarende variable i anden og alle krydsprodukterne

KM2: F1812 Test for heteroskedasticitet: Whites test Antag vi har en model med k=3 Hjælperegressionen for White’s test NB: 9 forklarende variable Hypotese Teststørrelsen findes som et LM test

KM2: F1813 Test for heteroskedasticitet: Whites test Forenklet White’s test: Hjælperegression Hypotese Testet konstrueres som Fordelen ved dette test er at antallet af regressorer i hjælperegressionen er lavere White’s test har asymptotisk gyldighed og er altså bedst for store datasæt

KM2: F1814 Test for heteroskedasticitet Test for heteroskedasticitet for cigareteksemplet: –Grafiske test: Er der tegn på at variansen afhænger fx af indkomst eller alder? –BP, White’s test Husk alle disse test er udledt under forudsætning af, at antagelserne MLR.1-MLR.4 er opfyldt. Hvis antagelse MLR.4 ikke er opfyldt kan man få at test for homoskedasticitet bliver afvist selvom antagelsen MLR.5 er opfyldt. Så afvisning af homoskedasticitet skal skyldes mere generelle former for misspecifikation: Kapitel 9

KM2: F1815 NB’er Antagelserne MLR.1- MLR.4, som sikrer at OLS middelret og konsistent, vedrører ikke variansen på fejlleddet. Heteroskedasticitet betyder systematik i variansen på fejlleddet, ikke i middelværdien (givet at MLR.3 holder). Gyldige hypotesetest kan baseres på den robuste kovariansmatrix for OLS estimatoren, selvom der er heteroskedasticitet.

KM2: F1816 Næste gang: Mandag Estimation under heteroskedasticitet: Kapitel 8.4 –Estimator der tager højde for heteroskedasticitet: Weighted Least Squares (WLS)