F21: Instrumentvariabelestimation III1 Økonometri 1 Instrumentvariabelestimation III 8. december 2006

F21: Instrumentvariabelestimation III 2 Plan: IV estimation i tilfældet med flere regressorer og instrumenter:  Flere endogene regressorer (eksakt identificeret)  2SLS (two-stage least squares) estimation.  Test af exogenitet

F21: Instrumentvariabelestimation III 3 Multipel IV estimation: Flere endogene regressorer Regressionsmodel på matrix form: Strukturel ligning: Opdel regressorerne i to grupper: Antag: regressorer er endogene: Skal som minimum bruge instrumenter

F21: Instrumentvariabelestimation III 4 Multipel IV estimation: Antal instrumenter Eksakt identifikation: Vi har netop instrumenter til rådighed, samme antal som der er endogene regressorer: Overidentifikation: Flere instrumenter end nødvendigt (F22). exogene variabler: ”instrument for sig selv”. Z rummer alle exogene variabler i modellen:  variabler, der er inkluderet i den strukturelle ligning  variabler, der er ekskluderet fra strukturel ligning

F21: Instrumentvariabelestimation III 5 Multipel IV estimation: Eksakt identificeret tilfælde For et gyldigt sæt af instrumenter kræves: Ingen korrelation med fejlleddet: Korrelation med de endogene regressorer: Ingen perfekt lineær afhængighed mellem instrumenterne:

F21: Instrumentvariabelestimation III 6 Eksakt identificeret tilfælde: IV estimation Udgangspunkt i betingelse for gyldigt instrument: Ingen korrelation med fejlleddet i populationen: Analog betingelse i stikprøven: Momentbetingelser definerer IV estimatoren: IV estimatoren er konsistent:

F21: Instrumentvariabelestimation III 7 Eksakt identificeret tilfælde: IV estimation Den simple IV formel kan beregnes for det eksakt identificerede tilfælde (antal endogene regressorer = antal instrumenter) Ækvivalent beregning ved to-trins metode: Two-stage least squares (2SLS) 2SLS kan generaliseres til overidentificeret tilfælde (F22): Flere instrumenter til rådighed end nødvendigt

F21: Instrumentvariabelestimation III 8 To-trins procedure (2SLS) 1. trin: Prediktion af ud fra instrumenterne på grundlag af hjælpeligningerne:  hjælpeligninger, som estimeres ved OLS. Betegnes den reducerede form. Ligningerne for er ”trivielle”.  Estimater og prediktioner fra hjælpeligningen:  Matricen kaldes projektionsmatricen: Symmetrisk, idempotent matrix ( )  Prediktioner af ud fra matricen af exogene variabler, : Asymptotisk ukorrelerede med fejlleddet.

F21: Instrumentvariabelestimation III 9 To-trins procedure (2SLS): Eksakt identifikation 2. trin: OLS på grundlag af predikterede værdier: 2SLS udtrykket forkorter ned og er ækvivalent med IV i det eksakt identificerede tilfælde 2SLS proceduren generaliserer til overidentificeret tilfælde: Flere instrumenter til rådighed end nødvendigt (F22)

F21: Instrumentvariabelestimation III 10 Test af exogenitet: Hvornår er det nødvendigt at bruge IV estimation? Er en given regressor i den strukturelle ligning endogen eller exogen?  Hvis endogen, så brug IV  Hvis exogen, så brug OLS (på grund af efficiens) Strukturel ligning: : Mistænker variablen for at være endogen, antag at øvrige k-1 regressorer er exogene: Antag at vi har et gyldigt instrument, : Hjælpeligning (reduceret form) for :

F21: Instrumentvariabelestimation III 11 Test af exogenitet (2) Hvis faktisk er exogen i den strukturelle ligning:  Både OLS og IV er konsistente estimatorer:  OLS er efficient. Hvis faktisk er endogen i den strukturelle ligning:  Kun IV giver konsistente estimatorer: Test baseret direkte på forskellen mellem OLS og IV estimaterne: Wu-Hausman test (Økonometri 2).

F21: Instrumentvariabelestimation III 12 Test af exogenitet (3) ”Residual augmenteret regression” test: Endnu en hjælperegression. Ide: En eventuel korrelation mellem og svarer til, at der er korrelation mellem og (husk at pr. antagelse er ukorreleret med ). Splitte op i to dele: En del der er korreleret med og en ukorreleret del: Indsæt i strukturel ligning: Erstat med residualet fra den reducerede form, : Lav signifikanstest på ”Hjemmeopgave”: Lav test af exogenitet af educ i W’s løneksempel (Ex. 15.7)

F21: Instrumentvariabelestimation III 13 Næste gang: Mandag 11. december. Overidentficeret tilfælde 2SLS for det generelle tilfælde Mere om test af exogenitet Test af overidentificerende restriktioner 6-trins procedure for IV estimation