Et eller andet datalogi… Gerth Stølting Brodal Institut for Datalogi Aarhus Universitet Voronoi Diagrammer Datalogi, Studiestart 2013

AU Gerth Ph.d. Datalogi, Aarhus Universitet ( ) Ansat ved Institut for Datalogi (1998-) Forskning og undervisning: Algoritmik Gymnasium Aabenraa PhD Post Doc AU 83 2

Ph.d. Algoritmik på Datalogi 1.år dPerspdIntProgCalculus 1 ComputerArkitekturdProg2Calculus 2 dADS1dWebTecdIntDesign dADS2dProgSprogdRegAut 2. år dDBdBerLogPervasive Int. Mat. ModelleringSoftwareArkitekturdConc Mat. Modellering 1dDistSys VidenskabsteoridSik 3. år dOvs Optimering dEkspSys Kombinatorisk Søgning 4. år Computational Geometry Alg. Engineering Randomiserede Alg.Strengalgoritmer 5. år Avancerede Datastrukturer I/O Algoritmer Speciale Andre algoritmikkurser Algoritmer i bioinformatik Dynamiske algoritmer Spilteori Machine learning Kompleksitetsteori … Denne forelæsning 3

Punkter og Linier koordinater = heltal p1p1 p2p2 irrational p3p3 overløb ≤ 2  )Undgå kvadratrødder 2)Vurder størrelsen af mellemresultater 4

Punkter og Linier koordinater = heltal p1p1 p2p2 P3P3 5 q 2 = q 1 + p 1 -p 2 = (a 2,b 2 ) p 3 tættest på p 2 p 3 til venstre for linien gennem q 1 og q 2 (a 1 -x 3 )  (b 2 -y 3 ) - (b 1 -y 3 )  (a 2 -x 3 ) > 0 q 1 = (p 1 +p 2 )/2 = (a 1,b 1 ) Gang alle koordinater med 2 for at ungå 1/2 Ikke heltal

Punkter og Linier koordinater = heltal p1p1 p2p2 p3p3 6 p4p4 (x,y)(x,y) (x 1 y 2 - y 1 x 2 )  (y 3 - y 4 ) - (y 1 - y 2 )  (x 3 y 4 - y 3 x 4 ) (x 1 y 2 - y 1 x 2 )  (x 3 - x 4 ) - (x 1 - x 2 )  (x 3 y 4 - y 3 x 4 ) (x 1 - x 2 )  (y 3 - y 4 ) - (y 1 - y 2 )  (x 3 - x 4 ) x = y = 1)Linierskæringer har rationale koordinater 2)Regn med brøkker Ikke heltal

7 p2p2 p3p3 p4p4 p5p5 p1p1 Voronoi Celle

8 Voronoi Diagram 1)Voronoi knuder  centrum for cirkel med tre randpunkter 2)Største tomme cirkel har centrum i en Voronoi knude 3)”Uendelige” Voronoi kanter  kanter på det konvekse hylster Konvekse hylster

Descartes Dirichlet 1850, Voronoi 1908, Boldyrev 1909, …

alexbeutel.com/webgl/voronoi.html 11

Triangulering af Terrain Data 12

Hvilken Triangulering ? 13 p2p2 p1p1 p4p4 p3p3 p8p8 p5p5 P9P9 p7p7 p6p6 spidse vinkler

Delauney Triangulering Voronoi diagram 14 Delauney trianguleringer maximerer mindste vinkel Dual Delauney triangulering

Inkrementel Konstruktion af Delauney Triangulering / Voronoi Diagram 15 Indsæt punkterne i tilfældig rækkefølge – Find flade + ”Flip” kanter Forventet O(1) ”flips” per indsættelse

Euler’s Sætning for Plane Grafer # knuder + # flader - # kanter = = 2 (gælder for sammenhængende grafer der kan tegnes uden krydsende kanter) knude kant flade 16 Voronoi diagrammer og Delauney trianguleringer indeholder ≤ 3n segmenter

Voronoi Diagram af Linier 17

2. ordens Voronoi Diagram 18 A B AB

3. ordens Voronoi Diagram 19 ABC A B C

Længst Væk Voronoi Diagram 20 A A Konvekse hylster

Manhattan Bar A Bar B 21 Bar C You are here

Afstandsmål L 2 Voronoi Diagram L 1 Voronoi Diagram P1P1 P2P2 Euklidisk afstand = L 2 afstand Manhattan afstand = L 1 afstand 22

3D Voronoi Diagram 23

Computer Grafik : Voronoi Splinter 24

Voronoi Art

Opsummering Algoritmik – et datalogisk forskningsområde Voronoi diagrammer = eksempel inden for delområdet ”computational geometry” Matematiske begreber og bevisførelser essentielle for at kunne arbejde med algoritmik 26

27

Punkt Lokalisering (Trapez Dekomposition og Kort) 28