Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel1 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 5. oktober 2004

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 2 Dagens program Test af flere lineære restriktioner (kap og 5.2).  Eksakt F-test (4.5)  Mange observationer (5.2): Approximativt F-test Lagrange Multiplikator (LM) test Eksempel Præsentation af estimationsresultater Mere om funktionel form

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 3 Flere lineære restriktioner Et fælles test af flere lineære restriktioner: F-testet. Model med tre forklarende variabler:  Ex. på nulhypoteser  Generelt format:  q lineære restriktioner på koefficienterne i den lineære model.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 4 Flere lineære restriktioner (fortsat) Alternativhypotesen: Afvis nulhypotese blot én af q restriktioner ikke holder. Restrikteret (r) vs. urestrikteret model (ur):  Ex.: Restrikterede modeller: Lineære restriktioner: Restrikteret model er lineær i parametrene: Estimeres ved OLS.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 5 Flere lineære restriktioner (fortsat) Test af flere lineære restriktioner: F-testet. Tæller altid større end eller lig nul: Restrikteret model kan ikke tilpasse data bedre end urestrikteret model. Antal frihedsgrader i tæller: Antal restriktioner, q Antal frihedsgrader i nævner: n- antal regressorer i urestrikteret model. Helt generelt format for F-testet.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 6 Flere lineære restriktioner (fortsat) Wooldridge omtaler også ”R-squared” form af testet: Bør kun benyttes med stor varsomhed! OK så længe restrikteret model har samme venstreside som urestrikteret model. Mod-ex.: C-D produktionsfunktion med CRS. Omskriv: Indsæt restriktionen: Bemærk: Ny venstreside. Brug det generelle format for F-testet.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 7 Flere lineære restriktioner: Eksakt inferens Under CLM antagelser følger F-testet en eksakt F-fordeling: Fordeling findes i Tabel G.3. For en restriktion og to-sidet alternativ: Ækvivalent med t-test: Men F-test af fælles hypotese på flere koefficienter kan godt give andet resultat end individuelle t-test.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 8 Alternativt test i store datasæt: Appr. F-test For mange observationer ”The asymptotic normality of the OLS estimators also implies that the F-statistics have approximate F-distributions in large sample sizes” Wooldridge (side 175, øverst) I praksis for store datasæt (når antagelserne MLR1-MLR5 er opfyldt) kan F-testene udføres på samme måde som når vi har eksakt inferens.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 9 Alternativt test i store datasæt: LM testet Lagrange multiplikator testet eller score testet. Generelt format:  Estimation af modellen under H 0  Residualer fra restrikteret model,  Hjælperegression (“auxiliary regression”) af  På hvad: afhænger af den specifikke hypotese. Kræver ikke estimation af den generelle (dvs.urestrikterede model): Oftest den i praksis sværeste. LM testet kan anvendes når Gauss-Markov antagelserne (MLR1-MLR5) er opfyldt.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 10 LM testet: Udelukkelsesrestriktioner Specifikt eksempel: Udelukkelsesrestriktion Restrikteret model: Under H 0 vil være ukorreleret med de udeladte variabler:

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 11 LM testet: Hjælperegressionen Regression af på ekskluderede og inkluderede variabler: og Registrer R 2 fra hjælperegressionen: Ikke andet. Beregn teststørrelsen LM-teststørrelsen vil almindeligvis (og uanset om der antages normalfordelte fejlled eller ej) være asymptotisk fordelt som, hvor q er antallet af restriktioner.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 12 LM testet: I praksis Regression af y på det restrikterede sæt af regressorer. Gem residualerne, Regression af på alle forklarende variabler. Gem R 2 Beregn LM=n R 2 Sammenlign beregnede testværdi med relevant fraktil i fordelingen. Eller beregn p-værdien for testet. Afvis H 0 hvis testet falder i den kritiske region.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 13 Inferens i den multiple regressionsmodel: Opsamling Resultater om OLS med endeligt antal observationer: Normalitetsantagelse eksakte t- og F-test. Asymptotiske resultater for OLS:  Konsistens under MLR.1-4.  Asymptotisk normalfordelt under MLR.1-5: t- og F-test begrundes approximativt i endeligt datasæt uden at antage normalfordelte fejlled. Andre typer af test: Lagrange multiplikator testet  Asymptotisk efficiens af OLS under MLR.1-5.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 14 Præsentation af estimationsresultater Det er vigtigt at kunne præsentere sine estimationsresultater på en ordentlig måde  Generelt i empiriske analyser  Konkret i kurset: Eksamensopgaven Øvelserne Læs selv afsnit 4.6

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 15 Funktionel form MLR forudsætter, at modellen er lineær i parametrene. Men ikke i variablerne. Funktionel form: Fortolkningsmæssige konsekvenser! Tre vigtige tilfælde:  Log-transformation  Kvadratiske led  Interaktionsled Brugen af log-transformation: Absolutte ændringer i log- transformeret variabel svarer til relative ændringer i den originale variabel.

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 16 Funktionel form: Log-transformation Økonomisk teori ofte udtrykt i afkast-størrelser (% pr. år):  BNP vækstrate: Relativ tilvækst i realt BNP fluktuerer nogenlunde konstant omkring et niveau på ca. 2 % pr. år over længere perioder: Tidsrækkemodeller  Egenkapitalforrentning (”return on equity”, Ex. 2.3, 2.6, 2.8): Store virksomheder har (gennemgående) store overskud (målt i kr.), små virksomheder har (gennemgående) små overskud. Mere relevant: Overskud i forhold til størrelsen af den indskudte kapital, en relativ størrelse. Variansen på en størrelse kan afhænge af niveauet: Relativ varians er mere stabil (RoE ex).

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 17 Funktionel form: Log-transformation (fortsat) ModelAfhængig variabel Forklarende variabel Hæld- ning Elasti- citet Lineæryx 11  1 x/y Log-linLog(y)x 1y1y 1x1x Lin-logyLog(x)  1 /x  1 /y Log-lineærLog(y)Log(x)  1 y/x 11

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 18 Funktionel form: Kvadratiske led Aftagende eller stigende marginaludbytte/-effekt: Fx kvadratisk Engelkurve: Andelen til mad aftagende, men ”flader ud”. Multipel regressionsmodel: Men ”alt andet lige” betragtning med omtanke. Effekt af ændring af afhænger af udgangsværdien af Evalueres ved ”relevant” værdi, fx. Extrapolation…!

Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel 19 Næste gang: Flere emner i den lineære regressionsmodel:  Mere om lineære regressionsmodel (kap 6)  Læs selv kap. 6.1.