Økonometri 1: Heteroskedasticitet1 Økonometri 1 Heteroskedasticitet 22. marts 2006

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 2 Dagens program Emnet for denne forelæsning er heteroskedasticitet (Wooldridge kap ) Test for heteroskedasticitet Konsekvenser af heteroskedasticitet Hvordan finder man en efficient estimator? Weighted Least Squares (WLS): Kendt form for heteroskedasticitet Ukendt form af heteroskedasticitet (som skal estimeres): Feasible Generalized Least Squares (FGLS)

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 3 Test for heteroskedasticitet Hvordan tester man for heteroskedasticitet? Antag følgende model hvor antagelserne MLR.1-MLR.4 er opfyldt Hypotese: Alternativ formulering af hypotesen Hvis hypotesen er forkert er en funktion af x’erne

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 4 Test for heteroskedasticitet Grafiske test: Estimer modellen med OLS Udregn og gem OLS residualerne Plot residualerne eller de kvadrerede residualer mod de forskellige forklarende variable eller den forudsagte værdi af den afhængige variabel Se efter systematiske mønstre i spredningen af residualerne

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 5 Test for heteroskedasticitet Hvis man antager en simpel lineær relation svarer nulhypotesen om homoskedasticitet til Denne hypotese kan testes ved at erstatte de sande fejlled med OLS residualerne Testet udføres enten som et F-test eller et LM test For store datasæt vil F og LM test have de sædvanlige fordelinger selvom man erstatter de sande fejlled med OLS residualerne

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 6 Test for heteroskedasticitet Regressionen (*) udføres og R 2 u for denne regression noteres F-teststørrelsen er givet ved Teststørrelsen er approx. F(k,n-k-1)-fordelt under nul- hypotesen (homoskedasticitet) LM teststørrelsen Dette test bliver ofte kaldt Breusch-Pagan testet

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 7 Test for heteroskedasticitet Specialtilfælde af BP-testet:  Hvis man mistænker, at variansen kun afhænger af en bestemt variabel.  Testet udføres ved at regressere de kvadrerede residualer på den pågældende variabel.  Bemærk at antallet af frihedsgrader er ændret for både F-testet (antal frihedsgrader: 1,n-1-1) og LM testet ( ) Alternativt test: Whites test for heteroskedasticitet  Betingelsen kan erstattes af svagere betingelse:  u 2 skal være ukorreleret med alle forklarende variable (x j ), de forklarende variable i anden (x 2 j ) og alle krydsprodukterne (x j x l )

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 8 Test for heteroskedasticitet Antag vi har en model med k=3 Hjælperegressionen for White’s test NB: 9 forklarende variable Hypotese Teststørrelsen findes som et LM test Testet kan også udføres som et F test. Begge test har asymptotisk gyldighed.

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 9 Test for heteroskedasticitet Forenklet White’s test: Hjælperegression Hypotese Testet konstrueres som Fordelen ved dette test er at antallet af frihedsgrader er lavere White’s test har asymptotisk gyldighed og er altså bedst for store datasæt

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 10 Test for heteroskedasticitet Husk alle disse test er udledt under forudsætning af, at antagelserne MLR.1-MLR.4 er opfyldt Hvis antagelse MLR.4 ikke er opfyldt kan man få at test for homoskedasticitet bliver afvist selvom antagelsen MLR.5 er opfyldt Så afvisning af homoskedasticitet skal skyldes mere generelle former for misspecifikation: Kapitel 9

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 11 Konsekvenser af heteroskedasticitet Ved heteroskedasticitet gælder (givet MLR.1-4):  OLS estimaterne er middelrette og konsistente  Det sædvanlige estimat af OLS variansen er ikke middelret eller konsistent Sidste forelæsning: Gyldige test baseret på OLS estimatoren ved brug af robuste variansestimater Men: Uheldige konsekvenser af heteroskedasticitet, som ikke bliver afhjulpet ved robust estimation af variansen:  OLS er ikke længere den bedste lineære middelrette estimator (BLUE): Der findes andre lineære middelrette estimatorer med mindre varians  OLS er ikke længere asymptotisk efficient

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 12 Hvorfor giver heteroskedasticitet inefficiente estimatorer? Intuitivt: OLS giver samme vægt til alle observationer/residualer (minimerer den simple sum af de kvadrerede residualer) Men ved heteroskedasticitet i fejlleddet: observationerne/ fejlleddene er trukket fra fordelinger med forskellig varians. En efficient estimator tillægger hver observation/residual en vægt, der er omvendt proportional med variansen for hver enhed.

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 13 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Heteroskedasticitet af en kendt form (op til en multiplikativ faktor) h(x) antages at være en kendt funktion af de forklarende variable h(x)>0 for alle mulige værdier af x’erne (varianser er altid positive) er en ukendt parameter Et specialtilfælde af den generelle form af heterosk.

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 14 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Eksempel: Opsparing- indkomst Model: I dette tilfælde er h(x)=h(inc)=inc (variansen er positiv, hvis indkomsten er positiv for alle i) Variansen er proportional med indkomsten. Det betyder at variationen i opsparing stiger med indkomsten Standard afvigelsen på u (betinget på indkomsten) er

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 15 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Ved at bruge information om formen for heterosk. kan modellen transformeres til en ”ny” model, som ikke indeholder heterosk. Antag følgende multiple regressionsmodel (som opfylder antagelserne MLR.1- MLR.4) Givet at h er en kendt funktion kan dens værdi beregnes for hver observation:

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 16 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Hvis man nu konstruerer et nyt fejlled som vil den betingede middelværdi stadig være nul: og den betingede varians vil være konstant:

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 17 Weighted Least Squares (WLS) Vi kan få en regressionsmodel med dette fejlled ved at dividere igennem med Den transformerede model er Bemærk at modellen generelt ikke længere indeholder noget konstantled De nye forklarende variable har sjældent en meningsfuld fortolkning Parametrene er de samme som i den oprindelige model og fortolkes ud fra den. Men kan estimeres efficient fra den transformerede model.

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 18 Den transformerede model opfylder nu antagelsen MLR.5 (homoskedasticitet) ifølge (§§). Antagelsen MLR.1 er også opfyldt, da modellen er lineær i parametrene. Antagelsen MLR.2 er også stadig opfyldt (hvis stikprøven er udtaget tilfældigt til den oprindelige model, gælder det også for den transformerede model). Antagelsen MLR.3 er stadig opfyldt. Antagelsen MLR.4 er opfyldt (§) (Mindre vigtigt: Hvis antagelsen MLR.6 er opfyldt for den oprindelige model, gælder antagelsen stadig) Weighted Least Squares (WLS)

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 19 Weighted Least Squares (WLS) I den transformerede model gælder MLR.1-MLR.5 OLS estimatoren vil i den transformerede model være BLUE F- og t-test er gyldige for den transformerede model R 2 er sjældent meningsfuld (ny venstresidesvariabel) Estimatoren som korrigerer for heteroskedasticitet kaldes for Weigted Least squares (WLS) Navnet hentyder til at estimaterne opnås ved at minimere de vægtede kvadrerede residualer.

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 20 Weighted Least Squares (WLS) WLS er et eksempel på Generalized Least Squares (GLS) Estimaterne vil generelt være forskellige fra OLS i den oprindelige model GLS estimatoren er mere efficient end OLS Parametrene skal stadig fortolkes som i den oprindelige model

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 21 Weighted Least Squares (WLS) Eksempel: (opsparing-indkomst) Transformerede model To forklarende variabler, intet konstantled

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 22 Weighted Least Squares (WLS) Eksempel: Afhængige variabel er et gennemsnit (hvor de enheder der tages gennemsnit over, er af forskellig størrelse) I disse modeller er heterosk. ofte relateret til gruppens størrelse I dette tilfælde skal vægtningen være

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 23 Ukendt form af heteroskedasticitet (som skal estimeres) I de fleste tilfælde er den eksakte form for heterosk. ukendt (dvs. h er ukendt)..men i mange tilfælde kan h modelleres og efterfølgende estimeres Ved at benytte kan man igen transformere den oprindelige model I den transformerede model benyttes så OLS. Denne procedure kaldes Feasible (”ladsiggørlig”) GLS (FGLS)

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 24 Ukendt form af heteroskedasticitet (som skal estimeres) Der findes mange måder at modellere heterosk. Her er gennemgået en version Antag at variansen er givet ved Bemærk: Variansen er altid positiv Variansen er proportional med For at kunne korrigere er det nødvendigt at kende værdien af parametrene.

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 25 Ukendt form af heteroskedasticitet (som skal estimeres) Hvis variansen er givet ved (*) gælder der følgende Parametrene kan estimeres ved OLS ved følgende regressionsmodel Modellen opfylder MLR.1 –MLR.4, så OLS vil give middelrette estimatorer

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 26 Ukendt form af heteroskedasticitet (som skal estimeres) Når parametrene skal estimeres erstattes fejlledene med OLS residualerne i hjælpeligningen Ud fra parameterestimaterne udregnes h WLS kan så udføres med Alternativt kan hjælperegressionen i (**) erstattes med

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 27 Test med WLS og FGLS FGLS er konsistent og asymptotisk mere efficient end OLS F- og t-test er asymptotisk hhv. F- og t-fordelte. Når man laver F-test med WLS er det vigtigt at den restrikterede og den urestrikterede model er estimeret med de samme vægte Proceduren for F-test med WLS  Estimer den urestrikterede model med OLS  Udregn vægtene  Estimer den urestrikterede model med disse vægt: WLS  Estimer den restrikterede model med samme vægte  Udfør F-testet

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 28 WLS (FGLS) og OLS Sammenligning af WLS og OLS OLS og WLS estimater kan være (meget) forskellige Hvis OLS og WLS er statistisk signifikant forskellige, bør man være varsom med at fortolke resultaterne. Dette kan være tegn på misspecifikation (specielt at antagelse MLR.3 ikke er opfyldt).

Økonometri 1: Heteroskedasticitet 29 Praktiske informationer: Næste gang: Fredag d. 24/3. Resten af kapitel 8