Heteroskedasticitet 17. marts 2006 Økonometri 1 Heteroskedasticitet 17. marts 2006 Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Økonometri 1: Heteroskedasticitet Dagens program Hovedemnet for denne forelæsning er heteroskedasticitet (kap. 8.1-8.3) Konsekvenser af heteroskedasticitet Hvordan kan man teste i modeller med heteroskedasticitet? Korrektion af variansen af OLS estimatoren Hypotesetest i modeller med heteroskedasticitet: t, F, W, LM Test for heteroskedasticitet Grafisk test Breusch-Pagan test White test Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Økonometri 1: Heteroskedasticitet I kapitel 3 blev antagelsen om homoskedasticitet introduceret: Samme varians på fejlleddet for alle i Antagelsen kan være meget restriktiv i praksis og derfor vil vi se på tilfælde med heteroskedasticitet Definition: Se på lineær multipel regressionsmodel Under antagelserne MLR.1- MLR.4 er OLS middelret og konsistent MLR.5 er antagelsen om homoskedasticitet Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Heteroskedasticitet (fortsat) Hvis MLR.5 ikke er opfyldt, er fejlleddene heteroskedastiske OLS estimatorens egenskaber ved heteroskedasticitet: + OLS stadig middelret og konsistent - Variansen af OLS estimatoren er ikke middelret - Konfidensintervallet er ikke rigtigt konstrueret - t og F-test er ikke nødvendigvis t og F-fordelt, LM test er ikke nødvendigvis fordelt (og derfor er disse test ikke pålidelige) OLS er ikke længere den bedste lineære middelrette estimator (BLUE): Der findes andre lineære middelrette estimatorer med mindre varians OLS er ikke længere asymptotisk efficient Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Hvordan kan man teste i modeller med heterosk.? Heteroskedasticitet i fejlleddet betyder, at et test der er baseret på OLS estimation kun er gyldigt, hvis man korrigerer standardfejlene for heteroskedasticitet. Til det formål er der udviklet såkaldt heteroskedasticitets-robuste test. Antag: Modellen lider af heteroskedasticitet af ukendt form: Vi antager altså, at fejlleddet til hver enhed (individ, firma, land) har sin egen varians (meget generel form) Homoskedasticitet kan ses som et specialtilfælde hvor Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Hvordan kan man teste i modeller med heterosk.? Ideen er at opnå en estimator for variansen af OLS estimatoren, som er konsistent selvom om der er heteroskedasticitet i fejlleddet. Se på simpel lineær regressionsmodel: Udregn variansen af OLS estimatoren, når MLR.1- MLR.4 er opfyldt, men den betingede varians af fejlleddet er givet ved (#): MLR.5 holder ikke. Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Hvordan kan man teste i modeller med heterosk.? Variansen af OLS estimatoren er i det generelle tilfælde givet ved Bevis (tavlegennemgang) Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Korrektion af variansen i en simpel lineær regressionsmodel Leddene i tælleren gives forskellig vægte, afhængig af Homoskedasticitet: OLS variansen reduceres til: White (1980) har vist, at under svage betingelser vil en gyldig estimator af OLS variansen være givet ved Heteroskedasticitets-robust varians og heterosk. robuste standardfejl (White’s standard errors). Beregnes fx med Proc Reg i optionen ACOV i SAS. Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Korrektion af variansen i en multipel lineær regressionsmodel Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Test i modeller med heteroskedasticitet: Enkelt restriktion Heteroskedasticitets-robust t-test: Hypotese: t-teststørrelse: hvor s.e. er heterosk. robust standardfejl på t-teststørrelsen er asymptotisk standard normalfordelt For små datasæt er t-teststørrelserne ikke nødvendigvis tæt på en t-fordeling Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Test i modeller med heteroskedasticitet: Flere restriktioner Hypotese: hvor ß er en (k+1)x1 vektor af parametre og R er en q x(k+1) matrix og r er en q x1 vektor Heterosk. robust F-test kan beregnes ud fra robust kovarians Heterosk. robust Wald test: Wald-teststørrelsen Det er dette test som udføres ved brug af ACOV optionen i SAS Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Økonometri 1: Heteroskedasticitet Eksempel Model for efterspørgsel efter cigaretter (Ex. 8.7) Est. Std.err Robust std. Err Const -3.63 24.08 25.51 Lincome 0.88 0.72 0.59 Lprice -0.75 5.77 6.01 Educ -0.50 0.16 Age -0.77 0.14 Age2 -0.01 0.001 Rest -2.82 1.11 1.00 Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Økonometri 1: Heteroskedasticitet Eksempel Hypoteseprøvning Hypotese t-teststørrelse Robust t-teststørrelsen Robust wald test Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Test i modeller med heteroskedasticitet: Flere restriktioner Heterosk. robust LM test (se side 277-78) Antag flg. model Hypotese Robust LM test Trin 1: Estimer restrikterede model med OLS Og gem residualerne Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Test i modeller med heteroskedasticitet: Flere restriktioner Trin 2: Estimer flg. hjælperegression med OLS Og gem residualerne Trin 3: Dan et nyt sæt af variable Trin 4: Estimer flg. hjælperegression LM-teststørrelsen er givet ved n-SSR fra ovenstående regression LM testet er asymptotisk Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Hvornår er der heteoskedaticitet? Hvornår er der i praksis heteroskedaticitet Data består af gennemsnit over forskellige antal observationer F.eks. Per capita variable for forskellige lande Gennemsnits for forskellige kommuner Forkert funktionel form Hvis fejlleddet er proportional med den afhængige variabel kan problemet nogle gange løses ved at lave en transformation med logaritmen Heteroskedasticitet knytter sig til den enkelte model og det enkelte datasæt Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Test for heteroskedasticitet Hvordan tester man for heteroskedasticitet? Antag følgende model hvor antagelserne MLR.1-MLR.4 er opfyldt Hypotese: Alternativ formulering af hypotesen Hvis hypotesen er forkert er en funktion af x’erne Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Test for heteroskedasticitet Grafiske test: Estimer modellen med OLS Udregn og gem OLS residualerne Plot residualerne eller de kvadrerede residualer mod de forskellige forklarende variable eller den forudsagte værdi af den afhængige variabel Se efter systematiske mønstre i spredningen af residualerne Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Test for heteroskedasticitet Hvis man antager en simpel lineær relation svarer nulhypotesen om homoskedasticitet til Denne hypotese kan testes ved at erstatte de sande fejlled med OLS residualerne Testet udføres enten som et F-test eller et LM test For store datasæt vil F og LM test have de sædvanlige fordelinger selvom man erstatter de sande fejlled med OLS residualerne Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Test for heteroskedasticitet Regressionen (*) udføres og R2u for denne regression noteres F-teststørrelsen er givet ved Teststørrelsen er approx. F(k,n-k-1)-fordelt under nul- hypotesen (homoskedasticitet) LM teststørrelsen Dette test bliver ofte kaldt Breusch-Pagan testet Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Test for heteroskedasticitet Specialtilfælde af BP-testet: Hvis man mistænker, at variansen kun afhænger af en bestemt variabel. Testet udføres ved at regressere de kvadrerede residualer på den pågældende variabel. Bemærk at antallet af frihedsgrader er ændret for både F-testet (antal frihedsgrader: 1,n-1-1) og LM testet ( ) Alternativt test: Whites test for heteroskedasticitet Betingelsen kan erstattes af svagere betingelse: u2 skal være ukorreleret med alle forklarende variable (xj), de forklarende variable i anden (x2j ) og alle krydsprodukterne (xjxl) Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Test for heteroskedasticitet Antag vi har en model med k=3 Hjælperegressionen for White’s test NB: 9 forklarende variable Hypotese Teststørrelsen findes som et LM test Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Test for heteroskedasticitet Forenklet White’s test: Hjælperegression Hypotese Testet konstrueres som Fordelen ved dette test er at antallet af frihedsgrader er lavere White’s test har asymptotisk gyldighed og er altså bedst for store datasæt Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Test for heteroskedasticitet Husk alle disse test er udledt under forudsætning af, at antagelserne MLR.1-MLR.4 er opfyldt Hvis antagelse MLR.4 ikke er opfyldt kan man få at test for homoskedasticitet bliver afvist selvom antagelsen MLR.5 er opfyldt Så afvisning af homoskedasticitet skal skyldes mere generelle former for misspecifikation: Kapitel 9 Økonometri 1: Heteroskedasticitet

Økonometri 1: Heteroskedasticitet Næste gang: Onsdag den 22/3. Heteroskedasticitet: Kapitel 8.4-8.5 Estimatorer, der tager højde for heteroskedasticitet: Vægtet mindste kvadraters estimation (WLS, FGLS) Lidt mere om den lineære sandsynlighedsmodel Husk forelæsninger både onsdag og fredag i næste uge Økonometri 1: Heteroskedasticitet