Økonometri 1: F121 Økonometri 1 Heteroskedasticitet 27. oktober 2006

Økonometri 1: F12 2 Dagens program: Heteroskedasticitet (Wooldridge kap ) Sidste gang:  Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS  Korrektion af variansen af OLS estimatoren  Generelle hypotesetest under heteroskedasticitet I dag:  Test for heteroskedasticitet Grafiske test Formelle test: Breusch-Pagan test, White test  Efficiente estimatorer, når der er heteroskedasticitet: Vægtning af observationerne (tilfældet med kendte vægte)

Økonometri 1: F12 3 Konsekvenser af heteroskedasticitet Ved heteroskedasticitet gælder (givet MLR.1-4):  OLS estimaterne er middelrette og konsistente  Det sædvanlige estimat af OLS variansen er ikke middelret eller konsistent Gyldige test baseret på OLS estimatoren ved brug af robuste variansestimater Men: Uheldige konsekvenser af heteroskedasticitet, som ikke bliver afhjulpet ved robust estimation af variansen:  OLS er ikke længere den bedste lineære middelrette estimator (BLUE): Der findes andre lineære middelrette estimatorer med mindre varians  OLS er ikke længere asymptotisk efficient

Økonometri 1: F12 4 Hvorfor giver heteroskedasticitet inefficiente estimatorer? Intuitivt: OLS giver samme vægt til alle observationer/- residualer (minimerer den simple sum af de kvadrerede residualer) Ved heteroskedasticitet i fejlleddet: Observationerne/ fejlleddene er trukket fra fordelinger med forskellig varians. En efficient estimator tillægger hver observation/residual en vægt, der er omvendt proportional med variansen på fejlleddet for hver enhed.

Økonometri 1: F12 5 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Heteroskedasticitet af en kendt form (op til en multiplikativ faktor) antages at være en kendt funktion af de forklarende variable for alle mulige værdier af x’erne (varianser er altid positive) er en ukendt parameter Et specialtilfælde af den generelle form af heterosk.

Økonometri 1: F12 6 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Eksempel: Opsparing- indkomst Model: I dette tilfælde er h(x)=h(inc)=inc (variansen er positiv, hvis indkomsten er positiv for alle i): Variansen er proportional med indkomsten. Standard afvigelsen på u (betinget på indkomsten) er Hvordan kan informationen om (##) bruges til at estimere en udgave af opsparings-indkomstrelationen, som er uden heteroskedasticitet?

Økonometri 1: F12 7 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Eksempel: opsparing-indkomst Transformerer modellen: To forklarende variabler, intet konstantled: Samme parametre Fejlled med konstant varians:

Økonometri 1: F12 8 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Ved at bruge information om formen for heterosk. kan modellen transformeres til en ”ny” model, som ikke indeholder heteroskedasticitet. Generelt: Antag følgende multiple regressionsmodel (som opfylder antagelserne MLR.1- MLR.4) Givet at h er en kendt funktion kan dens værdi beregnes for hver observation:

Økonometri 1: F12 9 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Hvis man nu konstruerer et nyt fejlled som vil den betingede middelværdi stadig være nul: og den betingede varians vil være konstant:

Økonometri 1: F12 10 Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Regressionsmodel med dette fejlled ved at dividere igennem med Den transformerede model er Bemærk at modellen generelt ikke længere indeholder noget konstantled De nye forklarende variabler har sjældent en meningsfuld fortolkning Parametrene er de samme som i den oprindelige model og skal fortolkes ud fra den. Men kan estimeres efficient fra den transformerede model.

Økonometri 1: F12 11 Den transformerede model opfylder nu antagelsen MLR.5 (homoskedasticitet) ifølge (§§). Antagelsen MLR.1 er også opfyldt, da modellen er lineær i parametrene. Antagelsen MLR.2 er også stadig opfyldt (hvis stikprøven er udtaget tilfældigt til den oprindelige model, gælder det også for den transformerede model). Antagelsen MLR.3 er stadig opfyldt. Antagelsen MLR.4 er også stadig opfyldt. (§) (Mindre vigtigt: Hvis antagelsen MLR.6 er opfyldt for den oprindelige model, gælder antagelsen stadig) Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS?

Økonometri 1: F12 12 Weighted Least Squares (WLS) I den transformerede model gælder MLR.1-MLR.5 OLS estimatoren i den transformerede model vil være BLUE F- og t-test er gyldige for den transformerede model R 2 er sjældent meningsfuld (ny venstresidesvariabel!) Estimatoren som korrigerer for heteroskedasticitet kaldes for Weigted Least squares (WLS) Navnet hentyder til at estimaterne opnås ved at minimere de vægtede kvadrerede residualer.

Økonometri 1: F12 13 Weighted Least Squares (WLS) WLS er et eksempel på Generalized Least Squares (GLS) Estimaterne vil generelt være forskellige fra OLS i den oprindelige model GLS estimatoren er mere efficient end OLS Parametrene skal stadig fortolkes som i den oprindelige model

Økonometri 1: F12 14 Weighted Least Squares (WLS) Eksempel: Afhængige variabel er et gennemsnit (hvor de grupper af enheder der tages gennemsnit over, er af forskellig størrelse) I disse modeller er heterosk. ofte relateret til gruppens størrelse I dette tilfælde skal vægtningen være

Økonometri 1: F12 15 NB’er En efficient estimator tillægger hver observation/residual en vægt, der er omvendt proportional med variansen på fejlleddet. Ved at bruge information om formen for heterosk. kan modellen transformeres til en ”ny” model, som ikke indeholder heteroskedasticitet. Den transformerede ligning kan estimeres efficient. Parametrene er de samme som i den oprindelige model og skal fortolkes ud fra den.

Økonometri 1: F12 16 Næste gang: Mandag den 30. oktober WLS når variansfunktionen er ukendt: FGLS Mere om den lineære sandsynlighedsmodel