Renteformler Erhvervsøkonomi / Managerial Economics Kjeld Tyllesen PEØ, CBS Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Atomvidenskab er svært – men dog intet at regne imod rentesregning! Meget frit efter Albert Einstein Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

I konventionelle lærebøger er der 4 formler Det er ikke svært! I konventionelle lærebøger er der 4 formler (+ ”tilsvarende” Excel-formler, på dansk og engelsk) Jeg vil gennemgå 5 renteformler Men de 5 formler er alle sammensat af kun 2 forskellige grund-formler Det betyder, at hvis vi bare kan 2 formler – og så kan kombinere dem lidt – så har vi dem alle sammen!! Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

= dags dato (= d.d.) = tidspunkt 0 Tid Vores variabel er TID Start = dags dato (= d.d.) = tidspunkt 0 Tid ”r” er prisen på penge i én periode Hvis vi investerer 1 kr. Så er ”r” den indbetaling (afkast), som gør, at du er indifferent mellem at have 1 kr. i dag og (1 + r) kr. ved udgangen af periode 1 Hvis man låner 1 kr. Så er ”r” den udbetaling (rente), som gør, at du er indifferent mellem at låne (= have til disposition) 1 kr. i dag og (1 + r) ved udgangen af periode 1 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

– men det kunne lige så godt være ved et finansieringsprojekt I begge tilfælde kaldes ”r” for kalkulationsrenten, og denne er behandlet i en særskilt film I det efterfølgende tager vi udgangspunkt i kalkulationsrenten ved en investering – men det kunne lige så godt være ved et finansieringsprojekt Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

(1 + r)N 1. formel: Hvis vi investerer 1 kr. ved periodens start, hvor stort et beløb har vi så ”på kontoen” ved udgangen af periode N? Vi hæver eller indsætter ikke beløb – ej heller de tilskrevne renter - i forløbet 1 kr. (1 + r) kr. (1 + r)1 * (1 + r) kr. (1+r)N-1 * (1+r) kr. Tid 1 2 N-1 N Start = (1 + r)1 kr. = (1 + r)2 kr. (1+r)N-1 = (1 + r)N kr. Så (1 + r)N kr. er det beløb, som står på bankkontoen ved udgangen af periode N, når man ved starten af periode 1 investerer 1 kr. til r % pr. periode Der er altså tale om én investering på 1 kr. primo periode 1 – og så ikke mere! Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Et eksempel, 100 kr. investeres i periode 0: 10% N Beløb 100,00 1 110,00 2 121,00 3 133,10 4 146,41 5 161,05 6 177,16 7 194,87 8 214,36 r = 7% N Beløb 100,00 1 107,00 2 114,49 3 122,50 4 131,08 5 140,26 6 150,07 7 160,58 8 171,82 r = 4% N Beløb 100,00 1 104,00 2 108,16 3 112,49 4 116,99 5 121,67 6 126,53 7 131,59 8 136,86 R stiger nu til 10% per periode R stiger nu til 7% per periode Værdien ult. Periode N af det beløb, der investeres på tidspunkt 0 (= primo periode 1) stiger altså eksponentielt - ikke lineært - i slutværdi, når r stiger, og også når N stiger. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

(1 + r)-N 2. formel: Hvad skal vi investere ved starten af periode 1, hvis vi ved udgangen af periode N ønsker at have 1 kr.? Vi hæver eller indsætter ikke beløb i forløbet ? *(1 + r) kr. ? * (1 + r)1 * (1 + r) kr. ? kr. ? * (1+r)N-1 * (1+r) kr. Tid 1 2 N Start = ? * (1 + r)1 kr. = ? * (1 + r)2 kr. ? * (1+r)N-1 = ? * (1 + r)N kr. Så vi har, at ? * (1 + r)N kr. = 1 kr. => ? = 1 (1 + r)N = (1 + r)-N Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Så ’2’ er altså lig med ’1’, der er ”vendt på hovedet” Så (1 + r)-N kr. er det beløb, som man skal investere ved starten af periode 1 (= tidspunkt 0) til r % pr. periode, når man ved slutningen af periode N ønsker at have 1 kr. ”på kontoen” Der er altså tale om én investering på (1 + r)-N kr. primo periode 1 – og så ikke mere! Så ’2’ er altså lig med ’1’, der er ”vendt på hovedet” Så ’2’ = ’1’-1 Så der er altså reelt kun tale om én - og samme - formel! Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Et eksempel, vi vil ha’ 100 kr. ult. periode N: 4% N Beløb 100,00 1 96,15 2 92,46 3 88,90 4 85,48 5 82,19 6 79,03 7 75,99 8 73,07 r = 7% N Beløb 100,00 1 93,46 2 87,34 3 81,63 4 76,29 5 71,30 6 66,63 7 62,27 8 58,20 r = 10% N Beløb 100,00 1 90,91 2 82,64 3 75,13 4 68,30 5 62,09 6 56,45 7 51,32 8 46,65 Jo længere investerings-periode (N), jo mindre skal der investeres dags dato (= tidspunkt 0) for at have 100 kr. ult. Periode N. Ikke lineært Jo højere rente, jo mindre skal der investeres dags dato (= tidspunkt 0) for at have 100 kr. ult. Periode N. Ikke lineært Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

(1 + r)N – 1 r 3. formel: Nu skiftes der betalingsmønster til at investere det samme beløb med regelmæssige mellemrum – og det kaldes en annuitet! Som standard forudsætning er annuiteter ”efterbetalte”, hvilket vil sige, at de betales ultimo hver periode – og ikke primo Det kan vi selvfølgelig også ”justere for” – altså regne ud – så vi udregner for forudbetalte annuiteter (betales alle primo) - men det gør vi ikke lige her Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Vi hæver ikke renterne i forløbet Hvis vi investerer 1 kr. ved slutningen af HVER periode, hvor meget har vi så ”stående på kontoen” ved udgangen af periode N? Vi hæver ikke renterne i forløbet N-1 1 2 3 4 N Tid Start 1 kr. (1+r)N-1 kr. 1 kr. (1+r)N-2 kr. 1 kr. (1+r)N-3 kr. 1 kr. (1+r)N-4 kr. 1 kr. (1+r)1 kr. 1 kr. ∑ = (1 + r)N – 1 r Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Så (1 + r)N – 1 kr. er det beløb, som står på bankkontoen ved r udgangen af periode N, når man ved slutningen af hver periode investerer 1 kr. til r % pr. periode Dette er ”den anden grundformel”; altså ’nr. 2’ Dette kaldes også ”Annuitets-forrentningsfaktoren”. Denne formel viser, hvad du har stående ult. Periode N, når du skal på pension, hvis du ult. i hver af de N perioder har indsat 1 kr. på en konto til en fast forrentning på r % Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Et eksempel, 100 kr. investeres ult. hver periode, til en fast rente: Jo højere rente, jo større beløb ultimo periode N Eksponentielt Jo længere periode, jo større beløb ultimo periode N Eksponentielt Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

(1 + r)N – 1 = 1 – (1 + r)-N . r * (1 + r)N r 4. formel 2 forskellige udtryk for det samme For hvad er alle de penge, som vi har stående på pensionstidspunktet ult. periode N - (1 + r)N – 1 - reelt værd i dag? r Formel 3 er ” Annuitets-forrentningsfaktoren” og giver os værdien ult. periode N af en indbetaling på 1 kr. ult. hver periode Og Formel 2 - (1 + r)-N - giver os værdien i dag af 1 kr., som står på kontoen ult. periode N Så nu kombinerer vi Formel 2 og 3 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Så Formel 4 = Formel 3 * Formel 2, altså ’4’ = ’3’ * ’2’ = Værdien d.d. af en indbetaling på 1 kr. ultimo i hver af N perioder, altså en annuitet Så når vi nu indbetaler 1 kr. ult. hver periode, har vi ult. periode N (1 + r)N – 1 kr. r Og dette beløb vil være (1 + r)N – 1 * (1 + r)-N kr. værd i dag, r primo periode 1 Så (1 + r)N – 1 * (1 + r)-N kr. = (1 + r)N – 1 r r * (1 + r)N Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

(1 + r)N – 1 * (1 + r)-N kr. = (1 + r)N – 1 = 1 – (1 + r)-N . Hvis vi ønsker at forkorte dette udtryk med faktoren (1 + r)N får man, at (1 + r)N – 1 * (1 + r)-N kr. = (1 + r)N – 1 = 1 – (1 + r)-N . r r * (1 + r)N r Så 1 – (1 + r)-N angiver også værdien dags dato af en r indbetaling på 1 kr. ultimo i hver af N perioder Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Dette kan også kaldes for ”Annuitets-diskonteringsfaktoren” Denne formel er også relevant at anvende, når man vurderer Realkreditlån Hvis jeg lover at betale banken - eller realkreditinstituttet - 1 kr. ult. hver af N perioder, så har dette løfte – afgivet i form af underskrift på et lånedokument – en økonomisk værdi her og nu – primo periode 1 Og denne værdi d.d. er på 1 – (1 + r)-N , så det beløb kan du få r udbetalt, når du underskriver lånedokumenterne! PS: I forhold til virkeligheden mangler der dog nogle gebyrer etc. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Formel 4 er derfor opbygget således, i 2 trin: 1. Hvis vi indbetaler 1 kr. ved slutningen af HVER periode, hvilket beløb har vi så ved udgangen af periode N? Vi hæver ikke renterne i forløbet N-1 1 2 3 4 N Tid Start 1 kr. (1+r)N-1 kr. 1 kr. (1+r)N-2 kr. 1 kr. (1+r)N-3 kr. 1 kr. (1+r)N-4 kr. 1 kr. (1+r)1 kr. 2. Og dette beløb føres så tilbage til tidspunkt 0 1 kr. * (1 + r)-N ∑ = (1 + r)N – 1 r => (1 + r)N – 1 * (1 + r)-N kr. = (1 + r)N – 1 = 1 – (1 + r)-N . r r * (1 + r)N r 19 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Et eksempel, 100 kr. indbetales ult. hver/periode: Jo højere rente, jo lavere nutidsværdi, altså K0. Ikke lineært Jo længere periode, jo større beløb ultimo perioden. Ikke lineært – og værdierne nærmer sig hinanden Så ved 10% er stigningen i nutidsværdi meget lille, selv om der betales i 10 år mere, 20 => 30 år! Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

r * (1 + r)N = r . (1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N 5. formel 2 forskellige udtryk for det samme I formel 4 fandt vi værdien d.d. af en indbetaling på 1 kr., som blev foretaget ult. hver periode Men ligesom vi foran ”vendte” ’1’ om og fik ’2’, vender vi ’4’ om og stiller nu spørgsmålet: Hvis vi i hver af N perioder ønsker at foretage en indbetaling ult. perioden hvilket beløb skal denne ydelse så være på, hvis vi ønsker, at værdien heraf skal være på 1 kr. primo periode 0 (= dags dato) – og alle indbetalte beløb skal være lige store (altså en annuitet)? Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Og K0 af ? skal være lig med 1 kr. ? = r * (1 + r)N = r . Eller: Hvilken annuitet ult. N perioder giver en nu-værdi (= K0) på 1 kr.? (1 + r)N – 1 = 1 – (1 + r)-N = K0 af en annuitet på 1 kr., jf. # 4 => r * (1 + r)N r = K0 af en annuitet på ? kr. (1 + r)N – 1 * ? = 1 – (1 + r)-N * ? r * (1 + r)N r = 1 => Og K0 af ? skal være lig med 1 kr. ? = r * (1 + r)N = r . (1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N Og hvad bliver ? så ? r . 1 – (1 + r)-N r . 1 – (1 + r)-N r . 1 – (1 + r)-N r . 1 – (1 + r)-N K0 = 1 kr. 1 2 N-1 Tid N Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

r * (1 + r)N = r = (1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N Den annuitetsydelse, der betales ult. i hver af N perioder og giver en K0-værdi på 1 kr. Som det ses, er ’4’-1 = ’5’ Ved at vende ’4’ (= K0) på hovedet, får man altså ’5’ (= annuitetsydelsen) Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Et eksempel, 100 kr. i Ko-værdi: Jo højere rente, jo højere annuitets-ydelse for at opnå en K0-værdi på 100 kr. Ikke lineært Ikke lineært Jo længere periode, jo mindre annuitetsydelse ultimo hver periode. Men nedsættelsen af ydelsen fra 20 => 30 år er slet ikke så stor som ved 10 => 20 år! Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Så lad os lige repetere de 5 formler – som altså i virkeligheden kun er 2 forskellige, som i tillæg kombineres på forskellig vis Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

(1 + r)N 1. - er det beløb, som står på bankkontoen ved udgangen af periode N, når man ved starten af periode 1 investerer et éngangs-beløb på 1 kr. til r % pr. periode 1 ? 1 2 3 4 N-1 N Tid Start (1 + r)-N 2. = ’1’-1 - er det éngangs-beløb, som man skal investere ved starten af periode 1 til r % pr. periode, når man ved slutningen af periode N ønsker at have 1 kr. ? 1 1 2 3 4 N-1 N Tid Start Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

(1 + r)N – 1 r 3. - er det beløb, som står på bankkontoen ved udgangen af periode N, når man ved slutningen af hver periode investerer 1 kr. til r % pr. periode 1 1 1 1 1 1 ? 1 2 3 4 N-1 N Tid Start Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

(1 + r)N – 1 = 1 – (1 + r)-N . r * (1 + r)N r ? 1 1 1 1 1 1 4. = ’3’ * ’2’ - er værdien d.d. af en indbetaling på 1 kr. ultimo i hver af N perioder, altså en annuitet ? 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 N-1 N Tid Start Eller =NV(rente; nper; ydelse; fv; type) Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

r * (1 + r)N = r . (1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N 1 ? ? ? ? ? ? = ’4’-1 5. - er den annuitetsydelse, der betales ult. N perioder og giver en K0-værdi på 1 kr. 1 ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 N-1 N Tid Start Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

I tillæg: Excel-formler til brug i Investering og Finansiering Hvis man vil finde: Brug: Nutidsværdi: =NV(rente; nper; ydelse) Engelsk: =PV() Ydelse: =YDELSE(rente; nper; nv) Engelsk: =PMT() Rente: =RENTE(nper; -ydelse; nv) Engelsk: =RATE() For annuiteter Antal terminer: =NPER(rente; -ydelse; nv) Engelsk: =NPER() Slutværdi: =FV(rente; nper; ydelse) Engelsk: =FV() Effektiv forrentning: =IA(betalinger0-N) Engelsk: =IRR() Kapitalværdi0: =NUTIDSVÆRDI(rente; betalinger1-N) + Betaling0 Engelsk: =NPV() Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Så nu mangler jeg blot at sige ”Tak for nu!” Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS