1 Går fra at vil maksimere dækning til at minimere omkostning Det kender vi fra den anden bog Omkostningen er afstanden gange antal enheder der skal transporteres Median problemer

2 h i efterspørgsel i knude i d ij afstand ml. efterspørgselsknude i og kandidatplacering j P antal nye faciliteter X j = 1 hvis vi placerer ny facilitet i knude j Y ij = 1 hvis knude i dækkes af lokalitet j Median problemer

3 I formuleringen for P-median problemet er det kun muligt at placere i knuder Vi har set i f.eks. P-center problemerne at man ikke er sikker på at få en optimal løsning hvis man ikke kan placere de nye faciliteter på kanterne Gælder det samme for P-median problemet??? Median problemer

4 Property 1 siger vi kan finde den optimale ved at prøve alle knuder Der bliver desværre hurtigt alt for mange muligheder der skal undersøges Hvis P = 1, kan man prøve alle knuder Ellers er det nødvendigt med heuristikker Median problemer

5 Observation –Hvis halvdelen eller mere af efterspørgslen er placeret i en knude vil det være optimalt at placere den nye facilitet i denne knude –Hvis mere end halvdelen af efterspørgslen er placeret i en knude er den eneste optimale løsning at placere den nye facilitet i denne knude 1-median problem på træ

6 Husk hvordan median vægt metoden virkede fra begyndelsen af kurset 1-median problem på graf Vægt til venstre0 Vægt til højre18 Samlet efterspørgsel: 23

7 Husk hvordan median vægt metoden virkede fra begyndelsen af kurset 1-median problem på graf Vægt til venstre5 Vægt til højre14 Samlet efterspørgsel: 23

8 Husk hvordan median vægt metoden virkede fra begyndelsen af kurset 1-median problem på graf Vægt til venstre9 Vægt til højre12 Samlet efterspørgsel: 23

9 Husk hvordan median vægt metoden virkede fra begyndelsen af kurset 1-median problem på graf Vægt til venstre11 Vægt til højre4 Optimal løsning Samlet efterspørgsel: 23

10 Median vægt metoden kan også bruges på en graf 1-median problem på graf Totale vægt = 25

11 Find knude så vægten ud af de incidente kanter ikke overskrider halvdelen af den totale vægt 1-median problem på graf Totale vægt = 25

12 Optimal løsning: 1-median problem på graf Totale vægt = 25 Vægt 6 Vægt 4 Vægt 12

13 Folde algoritmen 1-median problem på graf Totale vægt =

14 Folde algoritmen 1-median problem på graf Totale vægt =

Placering af en enkelt facilitet i et generelt netværk –Prøv alle knuder enkeltvis Placering af flere faciliteter i et generelt netværk –Se på en heuristik Nærsynet algoritme

16 Antag der er placeret P-1 faciliteter –X P-1 placeringen af de P-1 nye faciliteter –d(i,X P-1 ) korteste afstand fra i til en knude i X P-1 Nærsynet algoritme i

17 Antag vi placerer en ekstra facilitet i knude j –d(i,j U X P-1 ) korteste afstand fra i til en knude i X P-1 eller til j –Lad Z j = ∑ i h i d(i,j U X P-1 ) –Placer den nye facilitet i den knude som minimerer Z j Nærsynet algoritme i j

18 Algoritmen: –Trin 1: sæt k = 0, X k = Ø –Trin 2: sæt k = k +1 –Trin 3: Udregn Z j k = ∑ i h i d(i,j U X k-1 ) for alle j som ikke er i X k–1 –Trin 4: Placer en ny facilitet i knuden med den mindste Z j k værdi –Trin 5: Hvis der er placeret P faciliteter så stop, ellers gå til Trin 2 Nærsynet algoritme

19 Eksempel Nærsynet algoritme A J H KL D I C E G B F

20 Eksempel Nærsynet algoritme A J H KL D I C E G B F Objektfunktionsværdi = 4772

21 Eksempel Nærsynet algoritme A J H KL D I C E G B F Objektfunktionsværdi = 3145

22 Eksempel Nærsynet algoritme A J H KL D I C E G B F Objektfunktionsværdi = 2641

23 Eksempel Nærsynet algoritme A J H KL D I C E G B F Objektfunktionsværdi = 2157

24 Eksempel Nærsynet algoritme A J H KL D I C E G B F Objektfunktionsværdi = 1707

25 Eksempel Nærsynet algoritme A J H KL D I C E G B F Objektfunktionsværdi = 1707

26 Eksempel Nabosøgningsalgoritme A J H KL D I C E G B F Objektfunktionsværdi = 1632

27 Eksempel Nabosøgningsalgoritme A J H KL D I C E G B F Objektfunktionsværdi = 1572