Sammenhæng Kantfølge (walk): v 0 e 1 v 1 …v l-1 e l v l forbinder v 0 og v l Tur (trail) hvis alle kanter forskellige Lukket (closed) hvis v 0 = v l Vej hvis alle punkter forskellige Kreds hvis alle punkter forskellige bortset fra v 0 =v l
x forbundet med y er en ækvivalensrelation på punktmængden Ækvivalensklasserne inducerer grafens sammenhængskomponenter G sammenhængende, hvis den kun har én komponent
Broer En kant e i en graf G er en bro (cut edge), hvis G\e har flere komponenter end G (i givet fald præcist én komponent mere) Proposition 3.2: En kant er en bro, hvis og kun hvis den ikke er med i nogen kreds
Proof Technique: egenværdier The Friendship Theorem: En simpel graf, hvor hvert par af punkter har præcist én fælles nabo, indeholder et punkt, der er nabo til alle andre punkter Bevis ved modstrid: et modexempel er en regulær graf – egenværdibetragtninger giver en modstrid
Königsberg-spørgsmålet Kan man gå en tur, så hver bro krydses præcist én gang? En lukket tur, der benytter hver kant, kaldes en Euler-tur En sammenhængende graf har en Euler-tur, hvis og kun hvis den er lige (dvs. alle punkter har lige valens) Kan findes ved hjælp af Fleury’s algoritme: Gå fremad og benyt kun broer hvis andet umuligt
Digrafer Ensrettet kantfølge Punkt y opnåeligt (reachable) fra punkt x Gælder hvis og kun hvis der er en kant ud fra enhver delmængde X af punkter, som indeholder x men ikke y Ensrettet Euler-tur Findes i sammenhængende digraf, hvis og kun hvis den er lige
The cycle double cover conjecture Enhver graf uden broer indeholder en familie af kredse, som benytter hver kant præcist to gange - ???? Måske endda med få kredse (højst n-1 for graf med n punkter)??