Lineære funktioner AM/ Maj 2006 Prøv selv at svare på spørgsmålene, fylde hullerne ud og tegne ind, før du klikker frem til svaret. AM/ Maj 2006

Hvad ved I? – og hvad vidste I alligevel? Hvad er en lineær funktion? En lineær funktion er en funktion, der har en graf, som er en ret linie i et almindeligt koordinatsystem. Hvordan ser forskriften for en lineær funktion ud? En lineær funktion har forskriften y = ax + b el. f(x) = ax + b Bevis

Bevis 1a: f er en lineær funktion  f(x) = ax +b Værdien i 0 kaldes b, altså b:= f(0) x O y = f(x) Gå 1 t.h. fra (0,b) og lodret op/ned til linien rammes igen. f(x) T2 Det stykke, der gås op (regnet med fortegn) kaldes a 1 T1 a b Derved fremkommer en trekant T1 Tag et tilfældigt x og markér den tilhørende f(x) x Den vandrette linie fra punktet (0,b) forlænges - derved fremkommer en ny retvinklet trekant T2 De to trekanter er ensvinklede (vinklen mellem linien og vandret er fælles) T2 er altså en forstørrelse af T1

1a fortsat De to trekanter flyttes ud ved siden af hinanden x O y = f(x) b a 1 T1 f(x) T2 T1 a 1 T2 ∙ x f(x) - b f(x) - b f(x) - b x x Katetelængderne ses på grafen til højre Da de to vandrette kateter er hhv 1 og x, må forstørrelses-/skalafaktoren (fra T1 til T2) være x Når den lodrette katete i T1 forstørres med denne faktor fås den lodrette katete i T2, altså a∙x = f(x) – b Denne ligning kan omformes til f(x) = a∙x + b

Bevis 1b: f(x) = ax +b  f er en lineær funktion Først antages, at a og x er positive x O y = f(x) f(x) = ax + b  x f(x) C f(0) = a∙0 + b = b 1 f(1) A a∙x B(0,b) ligger da på grafen T2 T1 a A(1,f(1)) og C(x,f(x) ligger også på grafen b B D E Den vandrette linie fra B tegnes og D(1,b) og E(x,b) afsættes Kig på de to retvinklede trekanter T1 = BDA og T2 = BEC og indsæt længderne af kateterne på tegningen a∙x x C E T2 B |AD| = f(1) – b = a∙1 + b - b = a a 1 A D B T1 |CE| =f(x) – b = a∙x + b – b = a∙x

1b fortsat a∙x x C E T2 B ∙ x Vis at |AB| = ”Pythagoras” a 1 A D B T1 Vis, at |CB| = x∙|AB| |CB|2 = |BE|2 + |EC|2 = x2 + (ax)2 = x2 + a2 ∙ x2 = x2 ∙(1+ a2) = x2 ∙ |AB|2  |CB| = x ∙ |AB|, da x > 0 x f(x) C O y = f(x) b 1 f(1) A D E T2 T1 B Dvs. at T2 er en forstørrelse af T1 med forstørrelsesfaktoren x - altså er de to trekanter T1 og T2 ensvinklede Derfor er liniestykkerne BA og BC parallelle Dvs. at C må ligge på linien gennem A og B Da x var tilfældigt valgt, gælder det altså, at alle grafpunkter (x, f(x)) ligger på linien.

1b fortsat For a < 0 og x < 0 anvendes samme procedure, blot erstattes x med |x| = -x og a med |a| = -a, når det drejer sig om liniestykker. Forstørrelsesfaktoren bliver da |x|. Hermed er det vist, at linien gennem B(0,b) og A(1,a + b) er graf for den lineære funktion f(x) = ax + b.

Tilvækster  er det græske bogstav "Delta", der svarer til vort D og benyttes til angivelse af tilvækster

Grafisk betydning af a Hvad angiver tallet a? Hældningskoefficienten a er forholdet mellem y-tilvækst y og x-tilvækst x Dvs. a er tilvæksten i y = f(x), når x-værdien vokser med 1. 1  & a  Hvordan kan man indse, at ? Tag to tilfældige x-værdier x1 og x2. x2 = x1 + x Indsæt x1 og x2 i forskriften y = ax + b y1 = f(x1) = og ax1 + b y2 = f(x2) = ax2 + b = a(x1 + x) + b = ax1 + a x + b Bestem f = y y = y2 – y1 = a x  Eller se her

Grafisk betydning af b Hvad angiver tallet b? b er værdien i 0 ”Startværdien” dvs. b = f(0) Hvordan kan man indse, at b = f(0)? Indsæt x = 0 i f(x) = ax + b f(0) = a0 + b  f(0) = b Hvilken viden giver det om linien, at b = f(0)? Linien går gennem punktet (0,b) – dvs. at b kan aflæses som 2.koordinaten til liniens skæringspunkt i et sædvanligt koordinatsystem

Tegning af grafen for en lineær funktion y = f(x) = -2x + 3 b = 3 dvs. punktet ligger på linien (0,3) a = -2 , dvs. at man fra punktet (0,3) går 1 th og a = -2 op, dvs. 2 ned Der har man så et andet punkt på linien, som så kan tegnes. P Kontrol: fx f(2) = -2·2 + 2 = -2 P(2,-2) ligger på linien

Bestemmelse af forskrift v/aflæsn. 1 a: 1 th og a op eller 3 6a 6 th og 6a op dvs. at a = ½ 6 a Forskriften er altså 1 f(x) = ½x + 1 Kontrol: f.eks. f(4) = ½4 + 1 = 3 f.eks. f(4) = ½4 + 1 = 3

Bestemmelse af forskrift v/beregn. ud fra to pkt. (x1,y1) og (x2,y2) og b = y2 + a∙? = y2 - a∙x2 Eksempel: f er en lineær funktion med f(2) = 3 og f(-2) = 5 Punkterne på linien er altså (2,3) og (-2,5) a = og b = 5 + 2∙a = 5 + 2∙(-½) = 4 Forskriften er altså f(x) = -½x + 4 Kontrol på det punkt, der ikke har været brugt til beregning af b f(2) = -½∙2 + 4 = -1 + 4 = 3