Dagens program Informationer Opsamling χ2-test (chi-i-anden) Goodness-of-Fit test Test of Independence Forsvar og kritik af projekt 2 Igang med projekt 3 (problemformulering, analysemodel, operationalisering, ...) 1

Opsamling: Test og teststørrelser Giv eksempler på kategori-serede og kvantitative data. Hvad er ideen i et statistisk test? Hvad er forskellen på 2 afhængige og uafhængige stikprøver?

Goodness-of-Fit test Eksempel på problemstilling: Bortfald i en undersøgelse Svarprocenten i en undersøgelse er pænt under 100%. Der er rejst tvivl om troværdigheden af undersøgelsen. For at eliminere tvivlen gennemføres en bortfaldsundersøgelse. 3

Datagrundlag Forsikring Population, N N i % Svar- procent Stikprøve, n Bortfalds-data, n Auto 12.000 50% 24% 2.880 52% 48 Indbo 7.000 29% 22% 1.540 28% 30 Ulykke 5.000 21% 1.100 20% 22 Total 24.000 100% 23% 5.520 100

Goodnes-of-Fit test Forudsætninger Hypoteser Simpel tilfældig udvælgelse. Mindst fem forventede observationer i cellerne Hypoteser H0: Observerede = Faktiske Ha: Observerede ≠ Faktiske Beregning af teststørrelse Vi kender det faktisk observerede antal observationer i hver celle Vi beregner det forventede antal observationer i hver celle (der vil optræde, hvis nul hypotesen er sand). Produkt Forventet Observeret Difference Diff. ^ 2 (Diff. ^ 2) / Forventet Auto 52 48 4 16 0,31 Indbo 28 30 -2 0,14 Ulykke 20 22 0,2 Sum 0,65 5

Omregning af Chi-i-anden til en P-værdi 4. Omregning af teststørrelsen til en P-værdi kræver at vi kender antallet af frihedsgrader, df, (degrees of freedom), i tabellen. Antallet af frihedsgrader, df, i en tabel med 1 kolonne (eller 1 række) er lig antal celler minus 1, dvs. df = antal rækker – 1. Ved opslag i Excel benyttes CHIDIST, der returnerer arealet til højre for den observerede teststørrelse. 6 6

Trin 5: Konklusion Konklusion: Store værdier af χ2 giver små P-værdier. Små P-værdier er beviser mod nul-hypotesen H0. Med en χ2 på 0,65 og 1 frihedsgrad bliver P-værdien 72%.Vi afviser H0, når P er mindre end 5%. I dette tilfælde opretholder vi derfor H0. Forskellene i fordelingerne (de faktiske og de observerede) kan skyldes tilfældigheder som følge af stikprøven. Hvad sker der med chi-i-anden teststørrelsen, hvis stikprøvestørrelsen øges? Excel har også en funktion, CHITEST, der tager der tager de faktiske og forventede antal som input og returnerer P-værdien. 7 7

Opgave i Godness-of-Fit test Der er gennemført en undersøgelse blandt ITU studerende. De, som kommer med en bachelor fra et andet universitet, fordeler sig som følger mht. baggrund: 20% kommer fra naturvidenskabelige uddannelser 40% fra samfundsvidenskabelige uddannelser 40% fra humanistiske uddannelser Stikprøven på 42 studerende har følgende sammensætning: 7 fra naturvidenskabelige uddannelser (17%) 19 fra samfundsvidenskabelige uddannelser (45%) 16 fra humanistiske uddannelser (38%) Er stikprøven repræsentativ for populationen? 8 8

Goodness of fit test df for én række = (antal celler – 1) Datagrundlag Afvist + oversendt Afvist Realitets­ behandlet Total Udsendt i alt 357 33% 536 50% 185 17% 1.078 100% Modtaget i ordinær undersøgelse 122 34% 161 46% 68 19% 351 Modtaget i bortfaldsundersøgelse 16 29% 27 49% 12 22% 55 df for én række = (antal celler – 1) df = (3-1) = 2 P(X2>0,8) = 67 % Besvarelserne i bortfaldsundersøgelsen antages af være repræsentative. Observeret antal 16 27 12 Forventet antal 19,1 25,2 10,7 Sum (Obs-Forv.)^2 / Forv. 0,51 0,12 0,17 0,8 9 9

Test of Independence Afhænger valget af rejsemål af målgruppen? Et rejsebureau har introduceret oversøiske rejsemål, og vil vide, om de appellere til børnefamilier. Segment Malta Europa Oversøisk Antal Børnefamilier 46% 43% 11% 131 Andre 59% 35% 6% 49 Total 49% 41% 10% 180 Tabelopstilling Responsvariablen (den afhængige) sættes i kolonnerne. Den forklarende variabel (den uafhængige) sættes i rækkerne. Beregn betingede procentfordelinger. Vis antallet (stikprøvestørrelsen) som procenterne er beregnet på. 10 10

Test of Independence Afhænger rejsemålet af målgruppen? Definition To variable er uafhængige, hvis de betingede fordelinger er ens (statistisk set) To variable er afhængige, hvis de betingede fordelinger afviger betydeligt fra hinanden (statistisk set) Definitionen henviser til en population. Tabellen viser resultater fra en stikprøve og de afviger mere eller mindre fra populationens. Målgruppe Malta Europa Oversøisk Antal Børnefamilier 46% 43% 11% 131 Andre 59% 35% 6% 49 Total 49% 41% 10% 180 11 11

Test of Independence Forudsætninger Hypoteser Simpel tilfældig udvælgelse. Mindst fem forventede observationer i cellerne Hypoteser H0: De to variable er uafhængige Ha: De to variable er afhængige Beregning af teststørrelse Vi kender det faktisk observerede antal observationer i hver celle Vi beregner det forventede antal observationer i hver celle for det tilfælde, at de to variable er uafhængige. Målgruppe Malta Europa Oversøisk Total M. børn 60 56 15 131 U. børn 29 17 3 49 89 73 18 180 12 12

Det forventede antal observationer Sandsynligheder P(Børnefam.) = 131/180, P(Ikke børnefam.) = 49/180 P(Malta) = 89/180, P(Europa) = 73/180, P(Oversøisk) = 18/180 Forventede antal observationer P(Børnefam.) x P(Malta) x 180 = (131/180) x (89/180) x 180 = (131 x 89) / 180 = 64,77 Hvis de to variable er uafhængige, forventer vi at finde 64,77 ≈ 65 observationer i celle 1 (hvor vi faktisk observerer 60). Generel skivemåde: Målgruppe Malta Europa Oversø. Total M. børn 60 56 15 131 U. børn 29 17 3 49 89 73 18 180 13 13

Test of Independence = Ki-kvadrat-test 3. Beregning af Chi-i-anden teststørrelsen Chi-i-anden beregnes for hver celle. Chi-i-anden teststørrelsen er summen heraf. Den sammenfatter, hvor langt de faktiske antal ligger fra de forventede antal (nul-hypotesens ”forventning”). χ2 for den første celle: (60 – 64,8) = -4,8 (-4,8)2 = 23,04 23,04 / 64,8 = 0,35 Sum (0,35 +...+ 0,74) = 2,87 Observeret Malta Europa Oversø. Total M. børn 60 56 15 131 U. børn 29 17 3 49 89 73 18 180 Chi-i-anden Malta Europa Oversø. M. børn 0,35 0,16 0,28 U. børn 0,94 0,42 0,74 Forventet Malta Europa Oversø. Total M. børn 64,8 53,1 13,1 131 U. børn 24,2 19,9 4,9 49 89 73 18 180 14

Test of Independence = Ki-kvadrat-test 4. Omregning af teststørrelsen til en P-værdi kræver at vi kender antallet af frihedsgrader, df, (degrees of freedom), i tabellen. Antallet beregnes efter formlen: df = (r-1) x (k-1)=(2-1) x (3-1) = 2. P findes ved opslag i Excel eller i bogens tabel. Ved opslag i Excel benyttes CHIDIST, der giver os arealet (=sand- synlighedsmassen) til højre for den observerede teststørrelse. Målgruppe Malta Europa Oversø. Antal Børnefamilier 46% 43% 11% 131 Andre 59% 35% 6% 49 Total 49% 41% 10% 180 15 15

Test of Independence Konklusion: Store værdier af χ2 giver små P-værdier. Små P-værdier er beviser mod nul-hypotesen H0. Med en χ2 på 2,87 og 2 frihedsgrader bliver P-værdien 24%. Vi afviser H0, når P er mindre end 5%. I dette tilfælde opretholder vi derfor H0. Valget af rejsemål kan ikke formodes at afhænge af målgruppen. Forskellene i fordelingerne kan skyldes til-fældigheder som følge af stikprøven. Hvad sker der med chi-i-anden teststørrelsen, hvis to kolonner byttes om? Målgruppe Malta Europa Oversøisk Antal Børnefamilier 46% 43% 11% 131 Andre 59% 35% 6% 49 Total 49% 41% 10% 180 16 16

Falgruber i fb.m. Chi-i-anden test En statistisk signifikant sammehæng behøver ikke at have en praktisk betydning ”Misbrug” af chi-i-anden testen Data skal være genereret ved simpel tilfældig udvælgelse. Testen forudsætter, at de forventede antal > 5. Rækker og kolonner skal være uafhængige stikprøver (Kategorisering af kvantitative data).   Siden indeholder relevante informationer Der er tilstrækkelig med information på hjemmesiden Meget god(t) God(t) God-kendt Mindre god(t) Dårlig(t) 92% 8% 0% 15% 81% 4% Godkendt 3% 42% 54% 1% 2% 21% 50% 28% 6% 11% 17% 39% 17

Opgave i Test of Independence Har agressive personer større risiko for at få hjertesygdomme end ikke-agressive personer? En undersøgelse har belyst, om risikoen for en bestemt type hjertesygdom. Tallene fremgår af tabellen. Hjertesygdom Aggressivitet Ja Nej Total Lav 31 3.079 3.110 Middel 63 4.668 4.731 Højt 18 615 633 Opgaver Beregn de betingede fordelinger og beskriv i ord, hvad du ser. Test (slavisk, dvs. i de fem trin) om der er sammenhæng (asso-ciation) mellem responsvariablen og den forklarende variabel. Skriv en konklusion Kilde: http://www.sjsu.edu/faculty/gerstman/StatPrimer/crosstabs-exercises.htm (opgave 10.11, løsning i bunden af siden) 18 18