Cosinusrelationerne De sidste formler i skal kunne er cosinusrelationerne eller Den udvidede Pythagoras’ sætning som den også kaldes. I modsætning til de formler I tidligere har lært så gælder cosinusrelationer for ALLE trekanter, altså ikke kun for de retvinklede. Man siger også at cosinusrelationerne gælder for vilkårlige trekanter, hvilket bare betyder at de kan bruges på alle trekanter uanset typen.

Cosinusrelationerne Cosinusrelationerne siger at for enhver trekant ABC gælder at: c2 = a2 +b2 -2ab∙cos C og b2 = a2 +c2 -2ac∙cos B a2 = b2 +c2 -2bc∙cos A Med ord vil det sige, at man kan finde sidelængde og vinkler i enhver trekant hvis man kender enten alle sidelængderne eller 2 sider og vinklen imellem dem.

Cosinusrelationerne Lad os kigge på et par eksempler for helt at forstå hvad cosinusrelationerne kan bruges til. Eksempel 1: Vi kender alle tre sider. Vi får nu givet at a = 4 og b = 7 og c = 8. Vi indsætter siderne i formlerne én efter én. c2 = a2 +b2 -2ab∙cos C og b2 = a2 +c2 -2ac∙cos B a2 = b2 +c2 -2bc∙cos A

Cosinusrelationerne Ved at sætte sider ind i de andre formler kan vi bagefter finde både A og B. I vil så få at A = 29,9947o B = 61,0284o

Cosinusrelationerne Eksempel 1: Vi kender to sider og vinklen imellem dem. Vi får nu givet at b = 5 og c = 6 og A = 47o. Det første vi gør er at overveje hvilken formel vi skal bruge. Og det vi kan se er at den eneste formel der indeholder b, c og A er den sidste så det er nok den vi skal bruge. c2 = a2 +b2 -2ab∙cos C og b2 = a2 +c2 -2ac∙cos B a2 = b2 +c2 -2bc∙cos A

Cosinusrelationerne Da vi nu har alle 3 sider kan vi gøre som i eksempel 1 og finde de øvrige 2 vinkler B og C. Hvis I regner efter vil I få at B = 54,6909o C = 78,3091o

TILLYKKE I kan nu også beregne sider og vinkler i trekanter der ikke er retvinklede, kast jer over opgavehæftet og arbejd videre. God fornøjelse.