Kliknite ovde za unos prikaza časa u Word dokumentu! Zavod za unapređivanje obrazovanja i vaspitanja Autor rada: Nastavni predmet: Tема: Uzrast: Potrebna tehnologija: Tanja Radaković, ЕТŠ” Mihajlo Pupin”, Novi Sad. Matematika Proporcinalnost duži, Talesova teorema Prvi razred Računar i projektor Kliknite ovde za unos prikaza časa u Word dokumentu!

Proporcionalnost duži i Talesova teorema

Definicija: Ako su date duži a,b,k gde je k jedinična duž, i ako je a=mk, b=nk, tada količnik m:n nazivamo razmerom duži a i b, što označavamo a:b=m:n. Ako se radi o paralelnim orijentisanim dužima, npr. a i b, pod njihovom razmerom podrazumevaće se broj k, takav da je a=kb. Iz osobina vektora odavde sledi a:b=│k│,gde je a=│a│ b=│b│. Na taj način, ako je k<0, dobija se negativna razmera suprotno usmerenih orijentisanih duži. Ako dva para duži imaju jednake razmere, onda se kaže da su one proporcionalne, tj. ako je a:b=c:d.

Tales iz Mileta (oko 625-547. pre n. e Tales iz Mileta (oko 625-547. pre n.e.), jedan od sedmorice helenskih mudraca,filozof, fizičar, astronom i matematičar. Pripisuju mu se dalekovidost u političkim stvarima i svakodnevnim poslovima, izvanredna dovitljivost u rešavanju geometrijskih problema i filozofska generalizacija iskustava. Takva orijentacija je omogućavala napredak od razlomljenih pojedinačnih znanja prema celovitoj koncepciji nauke. Tako Talesova otkrića u izračunavanju visine piramide pomoću njene senke više nemaju karakter pukih radnih pravila.

Osnova Keopsove piramide je kvadrat ivice 233 m, a bočne ivice su jednake među sobom. Kolika je visina piramide, ako štap visine 2 m baca senku dužine 2 m? Udaljenost štapa do piramide je 28,5m. h : 2 = 147 : 2 2 h = 294 h = 147m 116,5m 28,5m 2m 147m h

p B AA1 SA SA1 = BB1 SB SB1 A S A1 B1 q a b Talesova teorema : Ako paralelne prave a i b presecaju pravu p u tačkama A i B, a pravu q u tačkama A1 i B1, i ako je S zajednička tačka pravih p i q,tada važi: S A B A1 B1 p q a b AA1 SA SA1 BB1 SB SB1 =

Vektori AA1 i BB1 su kolinearni, pa je AA1=kBB1 , odakle je Dokaz: Vektori AA1 i BB1 su kolinearni, pa je AA1=kBB1 , odakle je S A B A1 B1 p q a b AA1 BB1 =│k│. U ∆SBB1 važi: BB1=SB1-SB => U ∆SAA1 važi: AA1=SA1-SA SA1-SA=k(SB1-SB), odnosno SA1-kSB1=SA-kSB. Prave p i q nisu paralelne pa je ova jednakost moguća samo ako su leva i desna strana jednakosti nula vektori: SA1-kSB1=0 i SA-kSB=0. SA1 SB1 = │k│ SA SB AA1 BB1 SA1=kSB1 i SA=kSB =>

važi i obrnut stav: Teorema: Ako su poluprave Sp i Sq presečene dvema pravim a i b tako da su odsečci Sp i Sq proporcionalni, onda su prave a i b paralelne. p Dokaz: S A A1 B B1 Po pretpostavci je . SA SA1 SB SB1 = q b a` A` Ako nije a║b, tada postoji prava a`. a Odatle sledi a`= a, odnosno a║b Tada je, prema Talesovoj teoremi SA SA` SB SB1 = Uzimajući u obzir pretpostavku proizlazi SA1=SA`. Tada prema prema aksiomi A14 (egzistencija para tačaka podudarnog sa zadatim) sledi A1=A`.

ZADACI ZA VEŽBANJE: U trouglu ABC duž DE je paralelna sa AB. Naći dužinu duži BE, ako je AC = 15, AD = 3, BC = 25. C B A D E 3 15 X 25 Iz AC : CD = BC : CE sledi AC : (AC-CD) = BC : (BC-CE), odnosno AC : AD = BC : BE . Odavde je BE = AD ∙ BC AC 3 ∙ 25 15 5 .

2. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla ABC kod temena A deli naspramnu stranicu BC na odsečke proporcionalne ostalim dvema stranicama, tj. AB : AC. Dokazati. A B C Neka je AD simetrala ugla CAB, a CE║AD. D E Tada su jednaki uglovi: BAD i AEC, DAC i ACE , pa je trougao ACE jednakokrak. Zato je AC = AE. Na osnovu Talesove teoreme važi: BD AB DC AE = = AB AC , odnosno BD : DC = AB : AC .

3. Dat je trapez ABCD sa osnovicama AB = a i CD = b. Odrediti dužinu odsečka koji dijagonale trapeza odsecaju na srednjoj liniji trapeza. DE EY DA AB = Na osnovu Talesove teoreme važi: A B C D E F X Y AE EX AD DC = => 1 2 EY = AB = a EX = CD = b i pa je XY = EY – EX = . ( a – b ) 2

4. Dat je trougao ABC. Prava p koja je paralelena stranici BC duži AB i AC redom u tačkama D i E. Prava q koja sadrži tačku C i paralelna je pravoj BE seče pravu AB u tački F. Dokazati da je AB² = AD∙AF . q BC║ED AB AC AD AE = FC║BE AF AC AB AE = A C B p E AB AF AD AB = => D F AB² = AD∙AF .

TEST ZADATAK U trouglu ABC duž DE je paralelna sa AB. Naći dužinu duži AC, ako je AD = CE, CD = 4, BE = 9. C B A D E Iz AC : CD = BC : CE sledi 9 4 ( AD + 4 ) : 4 = ( AD + 9 ) : AD AD ( AD + 4 ) = 4 ( AD + 9 ) AD² + 4AD = 4AD + 36 AD² = 36 AD = 6 odakle je AC = AD + DC = 6 + 4 = 10.

DOMAĆI ZADATAK: Zbirka zadataka: strana 123, zadaci: 884 a), v), 889, 891.

DOMAĆI ZADATAK (TEKST) 1. U trouglu ABC duž DE je paralelna sa AB. a) Naći dužinu duži CE, ako je AC = 12, CD = 4, BC = 24. b) Naći dužinu duži BC, ako je AD = 6, CD =14, CE = 7. 2. Dokazati da simetrala spoljašnjeg ugla kod temena A trougla ABC deli stranicu BC u odnosu AB : AC ( AB ≠ BC ). 3. Prava koja sadrži presek dijagonala trapeza ABCD i paralelna je sa osnovicama a i b, seče krake AD i BC redom u tačkama M i N. Odrediti dužinu MN.