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Offentliggjort afAlexis Boutin Redigeret for ca. et år siden
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I Les angles orientés. 1°) Définition et notation :
( OM ; ON ) désigne l’angle orienté de mesure r tel que l’image M’ du point M par la rotation de centre O et d’angle orienté suivant le sens trigonométrique r soit sur la droite (ON). N M’ M sens trigo
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Si ( OM ; ON ) = r On a alors ( OM ; ON ) = … N M’ M sens trigo 0
3
Si ( OM ; ON ) = r On a alors ( OM ; ON ) = r + k2π N M’ M sens trigo 0
4
Si ( OM ; ON ) = r On a alors ( OM ; ON ) = r + k2π On peut écrire ( OM ; ON ) = r [2π] qui signifie r modulo 2π ( notation à éviter … ) N M’ M sens trigo 0
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2°) mesure principale de ( OM ; ON )
( OM ; ON ) = r + k2π C’est l’unique nombre r’ dans ] – π ; π ] tel que ( OM ; ON ) = r’ N M’ M sens trigo 0
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez les mesures principales de ( AC ; AB ) ( BC ; BA ) ( AC ; CB ) ( AD ; BA )
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; AB ) A C sens trigo B
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; AB ) A C sens trigo B
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; AB ) Dans le triangle ABC l’angle en A est de 45° donc π/4 radians, donc r = 2π – π/4 = 7π/4 A C sens trigo B
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; AB ) Dans le triangle ABC l’angle en A est de 45° donc π/4 radians, donc r = 2π – π/4 = 7π/4 ( AC ; AB ) = 7π/4 + k2π et le seul réel dans ] – π ; π ] est 7π/4 + (- 1)2π = - π/4 A C sens trigo B
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( BC ; BA ) A C B
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( BC ; BA ) Dans le triangle ABC l’angle en B est de 90° donc π/2 radians, donc r = π/2 A C sens trigo B
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( BC ; BA ) Dans le triangle ABC l’angle en B est de 90° donc π/2 radians, donc r = π/2 ( BC ; BA ) = π/2 + k2π et le seul réel dans ] – π ; π ] est π/2 + (0)2π = π/2 A C sens trigo B
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; CB ) A C B
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; CB ) r = π + π/4 = 5π/4 A C sens trigo B
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AC ; CB ) r = π + π/4 = 5π/4 ( AC ; CB ) = 5π/4 + k2π et le seul réel dans ] – π ; π ] est 5π/4 + (- 1)2π = - 3π/4 A C sens trigo B
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AD ; BA ) A C B
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AD ; BA ) r = π – ½ π/4 = 7π/8 A C sens trigo B D
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Exemple : ABC est un triangle direct rectangle isocèle en B, et D l’intersection de la bissectrice en A avec (BC). Déterminez la mesure principale de ( AD ; BA ) r = π – ½ π/4 = 7π/8 ( AD ; BA ) = 7π/8 + k2π et le seul réel dans ] – π ; π ] est 7π/8 + (0)2π = 7π/8 A C sens trigo B D
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3°) Propriétés : ( v ; u ) = …
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3°) Propriétés : ( v ; u ) = … v r u
22
3°) Propriétés : ( v ; u ) = … v r’ r u r + r’ = 2π donc r = - r’ + 2π
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3°) Propriétés : ( v ; u ) = 2π - ( u ; v ) + k2π v r’ r u r + r’ = 2π donc r = - r’ + 2π
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3°) Propriétés : ( v ; u ) = - ( u ; v ) + k2π v r’ r u r + r’ = 2π donc r = - r’ + 2π
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3°) Propriétés : ( u ; v ) + ( v ; w ) = ….
26
3°) Propriétés : ( u ; v ) + ( v ; w ) = …. w v r’’ r’ r u r’ + r’’ = r
27
3°) Propriétés : ( u ; v ) + ( v ; w ) = ( u ; w ) + k2π appelée aussi … w v r’’ r’ r u r’ + r’’ = r
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3°) Propriétés : ( u ; v ) + ( v ; w ) = ( u ; w ) + k2π appelée aussi « Relation de Chasles » w v r’’ r’ r u r’ + r’’ = r
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( - u ; v ) = … v u
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( - u ; v ) = … v - u r’ u r r = π + r’
31
( - u ; v ) = ( u ; v ) + π + k2π v - u r’ u r r = π + r’
32
( - u ; - v ) = … v u
33
( - u ; - v ) = ( u ; v ) + k2π v - u r’ u r - v r = r’
34
( u ; - v ) = … v u
35
( u ; - v ) = ( u ; v ) + π + k2π v r r’ u - v r = π + r’
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Si u et v sont colinéaires :
( u ; v ) = …
37
Si u et v sont colinéaires :
( u ; v ) = 0 + k2π v u r = 0
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Si u et v sont colinéaires :
( u ; v ) = 0 + k2π si de même sens ( u ; v ) = … si de sens opposés v u r = 0
39
Si u et v sont colinéaires :
( u ; v ) = 0 + k2π si de même sens ( u ; v ) = π + k2π si de sens opposés v u
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( k u ; k’ v ) = … v u
41
( k u ; k’ v ) = … k’ v v r’ r u k u r = r’
42
( k u ; k’ v ) = ( u ; v ) + k2π k’ v v r’ r u k u r = r’
43
si k et k’ positifs k’ v v r’ r u k u r = r’
( k u ; k’ v ) = ( u ; v ) + k2π si k et k’ positifs k’ v v r’ r u k u r = r’
44
( k u ; k’ v ) = … si k et k’ négatifs v u
45
si k et k’ négatifs v k u r’ u r k’ v r = r’
( k u ; k’ v ) = … si k et k’ négatifs v k u r’ u r k’ v r = r’
46
si k et k’ négatifs v k u r’ u r k’ v r = r’
( k u ; k’ v ) = ( u ; v ) + k2π si k et k’ négatifs v k u r’ u r k’ v r = r’
47
si k positif et k’ négatif v u
( k u ; k’ v ) = … si k positif et k’ négatif v u
48
si k positif et k’ négatif v r’ u k u r k’ v r = π + r’
( k u ; k’ v ) = ( u ; v ) + π + k2π si k positif et k’ négatif v r’ u k u r k’ v r = π + r’
49
si k négatif et k’ positif v u
( k u ; k’ v ) = … si k négatif et k’ positif v u
50
si k négatif et k’ positif k’ v v k u r’ u r r = π + r’
( k u ; k’ v ) = ( u ; v ) + π + k2π si k négatif et k’ positif k’ v v k u r’ u r r = π + r’
51
Conclusion : ( k u ; k’ v ) = … ?
52
Conclusion : ( k u ; k’ v ) = …
( u ; v ) + k2π si k et k’ de même signe ( u ; v ) + π + k2π si k et k’ de signes opposés
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( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ?
Déterminez : ( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ?
54
( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ? C A B
Déterminez : ( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ? C A B
55
( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ? C A B
Déterminez : ( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ? C A B
56
( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ? C A B
Déterminez : ( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = … ? C A B
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Somme des angles d’un triangle :
( AB ; AC ) + ( BC ; BA ) + ( CA ; CB ) = π + k2π C A B
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Complétez : ( MA ; MB ) = … M C A B
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Théorème de l’angle inscrit :
( MA ; MB ) = ½ ( CA ; CB ) + k2π M C A B
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Démonstration : En ne prenant que les mesures principales
Dans le triangle ACM : M A C B
61
Démonstration : En ne prenant que les mesures principales
Dans le triangle ACM : ( MA ; MC ) + ( AC ; AM ) + ( CM ; CA ) = π M A C B
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Démonstration : En ne prenant que les mesures principales
Dans le triangle ACM : ( MA ; MC ) + ( AC ; AM ) + ( CM ; CA ) = π M CM = CA = rayon donc le triangle est isocèle A C donc ( MA ; MC ) = ( AC ; AM ) B
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Démonstration : En ne prenant que les mesures principales
Dans le triangle ACM : ( MA ; MC ) + ( AC ; AM ) + ( CM ; CA ) = π M CM = CA = rayon donc le triangle est isocèle A C donc ( MA ; MC ) = ( AC ; AM ) B donc ( CM ; CA ) = π – 2 ( MA ; MC )
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Démonstration : Même méthode dans le triangle BCM :
( MC ; MB ) + ( BM ; BC ) + ( CB ; CM ) = π M CM = CB = rayon donc le triangle est isocèle A C donc ( MC ; MB ) = ( BM ; BC ) B donc ( CB ; CM ) = π – 2 ( MC ; MB )
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Angles en C : ( ; ) + ( ; ) + ( ; ) M A C B
66
( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = … M A C B
Angles en C : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = … M A C B
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( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π M A C B
Angles en C : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π M A C B
68
Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π
donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) M A C B
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Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π
donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )]
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Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π
donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )] = 2π - π + 2 ( MC ; MB ) - π + 2 ( MA ; MC )
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Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π
donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )] = 2π - π + 2 ( MC ; MB ) - π + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MC ; MB ) + 2 ( MA ; MC )
72
Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π
donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )] = 2π - π + 2 ( MC ; MB ) - π + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MC ; MB ) + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MA ; MC ) + 2 ( MC ; MB )
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Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π
donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )] = 2π - π + 2 ( MC ; MB ) - π + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MC ; MB ) + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MA ; MC ) + 2 ( MC ; MB ) = 2 [ ( MA ; MC ) + ( MC ; MB ) ]
74
Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π
donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )] = 2π - π + 2 ( MC ; MB ) - π + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MC ; MB ) + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MA ; MC ) + 2 ( MC ; MB ) = 2 [ ( MA ; MC ) + ( MC ; MB ) ] = 2 ( MA ; MB ) d’après Chasles
75
Démonstration : ( CA ; CB ) + ( CB ; CM ) + ( CM ; CA ) = 2π
donc ( CA ; CB ) = 2π – ( CB ; CM ) – ( CM ; CA ) = 2π – [π – 2 ( MC ; MB )] - [π – 2 ( MA ; MC )] = 2π - π + 2 ( MC ; MB ) - π + 2 ( MA ; MC ) = 2 ( MC ; MB ) + 2 ( MA ; MC ) M = 2 ( MA ; MC ) + 2 ( MC ; MB ) = 2 [ ( MA ; MC ) + ( MC ; MB ) ] C B = 2 ( MA ; MB ) d’après Chasles A
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