The creation of the calculus

Præsentationer af emnet: "The creation of the calculus"— Præsentationens transcript:

1 The creation of the calculus
تاریخ علم ریاضی دکتر مجتبی آقایی ساخت حساب دیفرانسیل و انتگرال The creation of the calculus کیوان شیخان – علی فاطمی – محمدرضا رستگاری

2

3 ساخت حساب دیفرانسیل و انتگرال
در پی تلاشهایی که برای پیدا کردن مفهوم تابع انجام گرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال به وجود آمد. این بزرگترین یافته بشر در تمام طول تاریخ بوده است. تا حدی به مسائلی که توسط یونانیان مطرح شده بود پاسخ داد. حساب دیفرانسیل و انتگرال مقدماتی برای مسائل بزرگ قرن 17 طراحی شد.

4 در آن زمان (قرن 17) چهار مسئله مهم وجود داشت:

5 مسئله اول: پیدا کردن فرمولی برای جابه‌جایی یک جسم به عنوان تابعی از زمان یافتن سرعت و شتاب لحظه‌ای از فرمول شتاب یک جسم به عنوان تابعی از زمان بتوان سرعت و جابه‌جایی آن جسم را به دست آورد. این مسئله مستقیماً به مطالعه حرکت برمی‌گردد و وقتی دشوار می‌شود که سرعت و شتاب هر دو متغیر با زمان باشند. در محاسبه سرعت لحظه‌ای در یک لحظه مشخص هم جابه‌جایی و هم زمان صفر هستند و 0/0 بی معناست در حالی که واضح است که هر جسم متحرک دارای سرعت است. یافتن جابه‌جایی وقتی که سرعت لحظه‌ای را داشته‌ باشیم.

6 مسئله دوم (یافتن مماس بر منحنی):
اگرچه مفهوم مماس به عنوان خطی که منحنی را تنها در یک نقطه قطع کند و در یک سمت منحنی قرار می‌گیرد توسط یونانیها مطرح شده بود اما این تعریف در منحنی‌های پیچیده‌تری که در قرن 17 استفاده می‌شد قابل استفاده نبود. یافتن مماس بر منحنی از دو نظر اهمیت دارد: از مسائل هندسه محض است. از نظر عملی کاربرد فراوان دارد.

7 با یافتن مماس برمنحنی عمود هم پیدا می شود.
مسئله دوم: کاربرد اول (طراحی لنز): اپتیک از مسائل مهم قرن 17 بود. طراحی لنز از علایق فرما، دکارت، هویگینز و نیوتن بود. با یافتن مماس برمنحنی عمود هم پیدا می شود.

8 کاربرد دوم (مطالعه مسیر حرکت):
مسئله دوم: کاربرد دوم (مطالعه مسیر حرکت): جهت حرکت در طول مسیر در هر لحظه بر مسیر مماس است.

9 پیدا کردن حداکثر برد پرتابه
مسئله سوم : پیدا کردن حداکثر برد پرتابه برد به زاویه پرتابه بستگی دارد. در ابتدای قرن 17 گالیله دریافت که ماکزیمم برد پرتابه در خلأ در زاویه 45 درجه رخ می‌دهد. پیدا کردن حداکثر و حداقل فاصله سیاره‌ها از خورشید

10 مسئله چهارم : مسافت طی شده توسط سیاره در یک محدوده زمانی مشخص
مساحت محصور توسط چند منحنی حجم محصور توسط چند سطح یافتن مرکز ثقل اجسام یافتن نیروی گرانش بین اجسام

11 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17

12 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
در اوایل قرن 17 دانشمندان زیادی روی حساب دیفرانسیل و انتگرال کار کردند. حد نهایی موفقیت این دانشمندان در کارهای نیوتن و لایبنیز خلاصه می شود. روبروال (Roberval) در کتاب Traite des indivisibles روش ارشمیدس را در پیدا کردن منحنی مارپیچ ارشمیدس تعمیم داد. همانند ارشمیدس روبروال یک منحنی را به عنوان مکان هندسی یک نقطه متحرک که تحت تاثیر دو سرعت یکی در راستای افقی و دیگری در راستای قائم است در نظر گرفت.

13 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
روبروال راستای PM را به عنوان مماس بر منحنی در نقطه P در نظرگرفت.

14 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
تریسلی (Torricelli) از روش روبروال برای به دست آوردن مماس بر منحنی‌هایی که معادلات آنها به فرم است استفاده کرد. هنگامی که تریسلی روش روبروال را ادامه می داد از این قانون استفاده کرد که سرعتهای افقی و عمودی مستقل از یکدیگر عمل می کنند. این قانون توسط گالیله اثبات شده است.

15 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
روش فرما (Fermat) در سال 1629 ساخته و در سال 1637 در دست نوشته ای با عنوان Methodus ad Disquiredam Maximam et Minimam (روشهای پیدا کردن مقدار ماکزیمم و مینیمم) پیدا شد.

16 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
TP را به عنوان مماس بر منحنی در نقطه P در نظر می گیریم. طول TQ را Subtangent می نامیم. روش فرما راهی برای پیدا کردن طول TQ است. در صورتی که مکان T را بدانیم می‌توان مماس TP را رسم کرد.

17 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
اگر QQ1 را نمو TQ به اندازه E در نظر بگیریم مثلثهای TQP و PRT1 متشابه اند. لذا : اما فرما RT1 را تقریباً مساوی RP1 در نظر گرفت:

18 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
PQ در نامگذاری مدرن F(x) نامیده می شود: به سادگی واضح است که می توان صورت و مخرج را بر E تقسیم کرد. فرما در ادامه با حذف E توانست TQ را بدست آورد.

19 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
با اضافه کردن تئوری حد به روش فرما به فرم استاندارد محاسبه مشتق در حال حاضر می رسیم. پیدا کردن مماس بر منحنی برای دکارت هم مهم بود زیرا او را قادر می ساخت خصوصیات منحنی (به عنوان مثال زاویه تقاطع دو منحنی) را بدست آورد. دکارت روش خود را در جلد دوم کتاب La Géométrie بیان کرد. این کتاب جبر خالص بود و شامل هیچ مفهومی از حد نبود.

20 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
مقایسه روش فرما و دکارت : در حقیقت روش دکارت مشابه روش فرما است با این تفاوت که روش دکارت به شدت فرمول بندی شده است. روش دکارت تنها برای معادلات به فرم y=f(x) که f(x) یک چندجمله‌ای ساده است مفید بود. هرچند روش فرما عمومیت داشت اما دکارت تصور می کرد روش او بهتر است. دکارت مدعی بود حذف کردن پارامتر E در روش فرما توجیه ریاضی ندارد. فرما هم مدعی بود روش او بهتر است و حذف نمو کوچک E مزایای زیادی دارد.

21 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
ایزاک بارو (Isaac Barrow): استاد ریاضی دانشگاه کمبریج بود. برخی کارهای اقلیدس را ترجمه کرده است. چندی از ترجمه های کارهای اقلیدس، آپولونیوس و تئودوسیوس را بهبود داده است. در محاسبه مماس بر منحنی یک روش هندسی دارد که او را مجبور به استفاده از منحنیهای کمکی کرد.

22 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
او با مثلث PRQ شروع کرد که در نتیجه نمو PR است. با استفاده از این حقیقت که: بارو در ادامه بیان می کند که کمان PP‘ خیلی کوچک است و می توان آن را با پاره خط PQ معادل دانست.

23 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
او از معادله استفاده کرد. x را با x+e و y را با y+a جایگزین کرد. سپس از توانهای بالاتر a و e صرفه نظر کرد.

24 حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
از شکل داریم : از آنجایی که PM برابر y است او توانست NM (subtangent) را محاسبه و مکان N را پیدا کند.

25 پیدا کردن ماکزیمم و می نیمم توابع

26 پیدا کردن ماکزیمم و می نیمم توابع
گفته می شود پیدا کردن ماکزیمم و مینیمم توابع با مشاهدات کپلر آغاز شد. او در کتاب Stereometria Doliorum در سال 1615 نشان داد که از بین همه متوازی السطوحها با پایه مربع که در یک کره محاط هستند مکعب بزرگترین است. روش او محاسبه حجم برای انتخاب خاصی از ابعاد بود. این روش به خودی خود مهم نیست اما او به حجم ماکزیمم دست یافت و بیان کرد تغییر حجم برای میزان ثابت تغییر در ابعاد به مرور کوچکتر و کوچکتر می‌شود.

27 پیدا کردن ماکزیمم و می نیمم توابع
فرما در کتاب Methodus ad Disquirendamروشش را ارائه داد. روش او نشان دهنده مثال زیر است: یک پاره خط در نظر می گیریم. می خواهیم نقطه او روی آن انتخاب کنیم که مستطیلی که از دو قطعه خط بدست می آید حداکثر شود.

28 پیدا کردن ماکزیمم و می نیمم توابع
سپس او A را با A+E جایگزین کرد. بنابراین قسمت دوم B-A+E خواهد شد: او دلیل آورد که در ماکزیمم مقدار دو تابع (دو مساحت) باید برابر باشند. لذا با مساوی قرار دادن دو مساحت داریم: او E را مساوی صفر قرار داد. بنابراین مستطیل ماکزیمم یک مربع است.

29 پیدا کردن ماکزیمم و می نیمم توابع
روشی که فرما بیان کرد کاملاً عمومی بود. وی آن را به صورت زیر شرح داد: اگر A یک متغیر مستقل باشد. اگرA به A+E افزایش یابد و مقدارE بینهایت کوچک باشد، وقتی تابع از ماکزیمم یا مینیمم می گذرد، مقادیر دو تابع برابرند. بنابراین این دو مقدار را مساوی قرار می دهیم و معادله را برE تقسیم می کنیم. در نهایت E را حذف می کنیم. فرما لازم ندید در نظر گرفتن مقدار ناصفر E، تقسیم کردن بر آن و درنهایت صفر قرار دادن آن را توجیه کند.

30 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی

31 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم ، طول منحنی در قرن 17 با کپلر شروع شد . او به مسئله حجم بسیار علاقه نشان می داد زیرا معتقد بود که روش هایی که دلالان شراب برای پیدا کردن بطری ها بکار می بردند بی دقت است. از کارهای او میتوان به پیدا کردن مساحت دایره و حجم کره اشاره کرد . برای محاسبه مساحت دایره او ابتدا دایره را به بی نهایت مثلث افراز کرد که راس همگی آنها در مرکز و قاعده آنها روی محیط قرار داشت سپس با استفاده از مساحت چند ضلعی های محاط شده نشان داد که مساحت دایره برابر نصف شعاع ضرب در محیط است

32 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
او بیان کرد که حجم کره برابر مجموع حجم های مخروط های کوچکی است که رأس آنها در مرکز کره و قاعده آنها روی سطح کره قرار داد با این روند او نشان داد که حجم کره برابر 1/3 شعاع ضرب در مساحت آن است . ماهیت روش کپلر را در تشخیص مساحت و حجم جمع تعداد نامحدودی از المان ها با بعد مشابه تشکیل می دهد . در کتاب Two new sciences گالیله در مبحث حرکت شتاب ثابت مساحت را به روش کپلر بدست آورد او با استدلال نشان داد که مساحت زیر منحنی سرعت زمان برابر جابه جایی است .

33 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
فرض کنیم یک جسم با سرعت متغیر v=32t حرکت کند . جابجایی جسم در زمان OA برابر مساحت مثلث OAD است .گالیله A'B' را به عنوان یک جابجایی بی نهایت کوچک در نظر گرفت . سپس اثبات کرد که مساحت OAB از خط های A'B' ساخته می شود . بنابراین مساحت OAB برابر کل جابجایی است .

34 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
دلیل گالیله برای اینکه مثلث OAB از بی نهایت واحد غیر قابل تقسیم مانند A’B’ ساخته شده است واضح نبود. این موضوع در ذهن گالیله توسط ملاحظات فلسفی توجیه می شد . گالیله مدت زیادی برای حل موضوع صرف کرد اما نتوانست آن را حل کند.

35 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
کاوالیری (Bonaventura Cavalieri) ( ) شاگرد گالیله و استاد دانشگاه بلونیای ایتالیا بود .او توسط کپلر و گالیله تحت تأثیر قرار گرفت و آنها او را به بررسی مسائل حساب دیفرانسیل و انتگرال برانگیختند. کاوالیری تفکرات گالیله و سایرین را در مورد غیر قابل تقسیم ها در روش های هندسی توسعه داد و کتابی در این مورد با نامGeometria Indivisibilibus Continurum Nova quadam Rotione Promoto نوشت . او مساحت را تشکیل شده از تعداد نامتناهی پاره خط موازی دارای مسافت مساوی (بخش غیر قابل تقسیم مساحت) و حجم را تشکیل شده از تعداد نامتناهی صفحه موازی (بخش غیرقابل تقسیم حجم) در نظر گرفت.

36 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
کاوالیری تشخیص داد که تعداد بخش های غیر قابل تقسیم که مساحت یا حجم را شکل می دهند باید بی نهایت باشند اما تلاشی برای شرح دادن آن نکرد. او بیان کرد: یک خط مانند یه رشته از مهره از نقاط تشکیل شده، صفحه مانند نخهای یک پارچه از خطها تشکیل شده و جسم مانند ورق های یک کتاب از صفحه ها تشکیل شده است، با این تفاوت که تعداد المان ها در خط ،صفحه وجسم بی نهایت است.

37 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
اصل کاوالیری: مساحت متوازی الاضلاع ABCD دو برابر مساحت هر یک از مثلث های ABD و BCD است وی اثبات کرد که: GD = BE , GH = FE بنابراین مثلث های BCD , ABD از تعداد برابر خط هم اندازه همانند EF,GH تشکیل شده اند. لذا دارای مساحت های برابر می باشند.

38 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
اصل کاوالیری در مورد حجم: کاوالیری اصل مشابهی در مورد حجم دارد که در کتابهای هندسی سه بعدی به قضیه کاوالیری شهرت دارد، این اصل بیان می کند که اگر دو جسم دارای ارتفاع برابر باشند و اگر مقطع ایجاد شده که بوسیله صفحات موازی با پایة و در فاصله مساوی از پایه دارای یک نسبت ثابت باشند آنگاه حجم آنها دارای همین نسبت است. با استفاده از این اصل کاوالیری اثبات کرد که حجم مخروط محدود در یک استوانه یک سوم حجم استوانه است. او همچنین مساخت زیر دو منحنی که در نمایش کنونی به صورت y=g(x) وy=f(x) نشان داده می شوند را در یک بازه مشابه از x مورد بررسی قرار داد. مساحت را جمع عرض ها در نظر گرفت. اگر عرض یکی از دو منحنی نسبتی از دیگری باشد، مساحت آن دو نیز دارای همین نسبت است.

39 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
او با این روش در Centrio di varii problemi نشان داد: غیر قابل تقسیم های کاوالیری توسط معاصرانش مورد انتقاد قرار می گرفت کاوالیری تلاش می کرد که به آنها پاسخ دهد اما نتوانست به طور دقیق دلیل آورد. او بارها ادعا کرد که روش او یک وسیله عملی در برابر روش های قدیمی است. با این وجود عده زیادی از ریاضی دانان از روش او ایراد می گرفتند.

40 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
سایر ریاضی دانان همانند فرما،پاسکال و روبروال از این روش استفاده می‌کردند با این تفاوت که آنها مساحت را جمع بی نهایت مستطیل کوچک در نظر می گرفتند، نه جمع خطوط در سال 1634 روبروال بیان کرد که با استفاده از ماهیت روش غیر قابل تقسیم ها توانسته است مساحت زیر قوس سیکلوئید (شبه دایره) را بدست آورد. او برخی اوقات ادغان می کرد که مستقل از روش غیر قابل تقسیم ها مساحت را بدست آورده است، ما در واقع او به بی نهایت خطوط، سطوح و حجم های غیر قابل دیدن که به بخش های جزئی تر تقسیم نمی شوند اعتقاد داشت.

41 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
او روش خود را « روش بی نهایت ها» نامید. روش روبروال در به دست آوردن مساحت زیر سیکلوئید آموزنده است.

42 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
در نظر بگیریم که OABP مساحت زیر نصف قوس سیکلوئید باشد، OC قطر دایره مولد و P یک نقطه روی قوس باشد و نیز PQ=DF در نظر بگیریم. اگر مبدأ مختصات را وسط منحنی OQB و محور xها را بموازاتOA در نظر بگیریم، منحنی OQB ، است که a شعاع دایره مولد است.

43 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
روبروال اظهار کرد که منحنی OQB مستطیل DABC را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند زیرا هر خط مانند DQ در OQBC متناظر با خط RS در OABQ است لذا با استفاده از اصل کاوالیری دو مساحت فوق مساوی اند. ارتفاع مستطیل OABC برابر قطر دایره مولد و طول آن برابر نصف محیط دایره مولد است بنابراین مساحت آن برابر مساحت دایره مولد است، لذا مساحت OABC برابر مساحت دایره مولد است.

44 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
چون DF = PQ با استفاده از اصل کاوالیری نشان داده میشود که مساحت بینOQB و OPB برابر مساحت نیم دایره OFC است. پس مساحت زیر نیم قوس برابر نصف مساحت دایره مولد است.

45 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
روش های مهم و جدید محاسبه سطح، حجم و ... با تغییراتی که در روش های قدیمی یونانی داده می شد شروع می شد. به عنوان مثال در نظر داریم مساحت زیر منحنی را از تا بدست آوریم.

46 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
از O تا B را به n قسمت مساوی به طول d تقسیم می کنیم. جمع توان m از n عدد طبیعی متوالی که از یک شروع شود بوسیله پاسکال و فرما بدست آمده بود لذا: پس دلیل آوردند که می توان از دو ترم آخر وقتی که n بی نهایت باشد، صرفه نظر کرد. از آنجایی که مفهوم حد هنوز معرفی نشده بود یا تنها یک درک خام از آن داشتند صرفه نظر کردن از دو ترم آخر توجیهی نداشت.

47 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
قبل از نیوتن ولاینیز کسی که بیشترین تلاش را در معرفی روش های تحلیلی در حساب دیفرانسیل وانتگرال داشت جان والیز (John wallis 1616 – 1703) بود . وی در حدود بیست سالگی شروع به یادگیری ریاضی کرد .( رشته تحصیلی و در دانشگاه کمبریج الهیات بود ) او استاد هندسه در آکسفورد شد . والیز بعد از نیوتن با استعداد ترین ریاضی دان بریتانیایی قرن خود بود .

48 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
یکی از نتایج برجسته والیز که در حین کوشش برای محاسبه تحلیلی مساحت دایره بدست آمد یک عبارت جدید برای π بود او مساحت محدود به محور x ها ومنحنی با توابع زیر را بین 0 تا x محاسبه کرد . و به ترتیب به مساحتهای زیر رسید:

49 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
وقتی x=1 باشد این مساحتها عبارت اند از : حال اگر دایره با معادله داده شده باشد با استفاده از استقرار و دروی یابی والیز مساحت آن را محاسبه کرد . او با استدلالی پیچیده تر به عبارت زیر دست یافت :

50 پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم و طول منحنی
کار روی حساب دیفرانسیل و انتگرال در دو سوم اول قرن 17 خودش را در جزئیات گم کرد . در تلاش هایشان برای بدست آوردن روابط دقیق از طریق هندسه باعث شد که بساری از بکار کردو و کاوش در مفاهیم جدید جبر و هندسه مختصاتی قصور ورزند.

51 کارهای نیوتن

52 کارهای نیوتن نیوتن کارهایی را در مکانیک فضایی ، نور ، شیمی ، هیدرو استاتیک ، هیدرودینامیک ، میرایی آونگ و سقوط اجسام کروی در آب و هوا انجام داد. از آنجایی که حساب دیفرانسیل و انتگرال اهمیت داشت ، نیوتن ایده هایی را که قبلاً توسط تعداد زیادی پیش برده شده بود تعمیم داد و روش های تکامل یافته ای را ساخت . اگر چه او به عنوان دانشجو چیزهای زیادی را از بارو ( Barrow ) آموخت اما در جبر و دیفرانسیل و انتگرال او تحت تأثیر کارهای والیز بود . تفکرات نیوتن در دیفرانسیل و انتگرال تحلیلی بود اما او می پنداشت که برای اثبات دقیق مسائل، هندسه لازم است .

53 کارهای نیوتن وی در سال 1669 مقاله ای را با عنوان De Aralysi per Aequationes Numero Terminovum Inhinitas ( تحلیل بوسیله معادلات با بی نهایت جمله ) به دوستان خود فرستاد . این مقاله تا سال 1711 چاپ نشد . وی فرض کرد که یک منحنی که سطح زیر آن z است داشته باشیم : عدد صحیح یا کسری m

54 کارهای نیوتن او بیان کرد که با یک افزایش بی اندازه کوچک درx (نمو x ) که با o نشان داده شد در مورد مساحت محصور بوسیله منحنی ، محور xها محور yها و خط عمود در x+o که آن را با z+oy نشان داد (oy نمو مساحت است) داریم: او از قضیه دو جمله ای در طرف راست استفاده کرد و به یک سری بی نهایت وقتی که m کسری باشد دست یافت . با کم کردن (1) از (2) و تقسیم کردن آن بر o و صرفه نظر کردن از ترم هایی که هنوز شامل o هستند او به رابطه زیر دست یافت :

55 کارهای نیوتن نتیجه می شود اگر منحنی باشد مساحت زیر آن عبارت است از:
نتیجه می شود اگر منحنی باشد مساحت زیر آن عبارت است از: در این فرآیند نه تنها به یک روش عمودی برابر پیدا کردن نسبت تغییر یک متغییر در برابر یک متغییر دیگر ( z در برابر x در مثال قبل ) دست یافت ، بلکه نشان داد که مساحت را می توان با فرآیندهای معکوس پیدا کردن نسبت تغییر بدست آورد .

56 کارهای نیوتن پس از نشان دادن اینکه مشتق مساحت مقادیر y است و اثبات اینکه عکس این قاعده هم صحیح است ، نیوتن این قاعده را ارائه داد که : اگر مقداری y به صورت جمع تعدادی جمله باشد آنگاه مساحت نیز جمع مساحت ناشی از هر یک از آن جملات است . ( در بیان کنونی ، انتگرال نا معین جمع توابع برابر جمع انتگرال تک تک آن توابع است )

57 کارهای نیوتن در قسمت بعدی مقاله نیوتن از سری های بی نهایت برای محاسبه انتگرال استفاده کرد. برای انتگرال گیری از او را بر تقسیم کرد و به عبارت زیر دست یافت : سپس او توانست با استفاده از انتگرال گیری از تک تک جملات ، مقدار انتگرال را بدست آورد

58 کارهای نیوتن همچنین برای انتگرال گیری از او از بسط دو جمله ای استفاده کرد و نوشت: و سپس از تک تک جملات انتگرال گرفت. وی همچنین بیان کرد اگر به صورت ‌ ‍ داده شده باشد با استفاده از بسط دو جمله ای می رسیم به : او اظهار داشت هنگامی که x به اندازه کافی کوچک است از بسط اول باید استفاده کرد اما هنگامی که x بزرگ است باید از بسط دوم بهره جست. بنابراین او تا حدی از آن چیزی که ما آن را همگرایی می نامیم آگاه بود اما نماد دقیقی برای آن نداشت .

59 کارهای نیوتن نیوتن در راه رسیدن به حساب دیفرانسیل و انتگرال از چیزی استفاده کرد که می توان آن را روش بی نهایت کوچک ها نامید . نموها مقادیر بی نهایت کوچک هستند . البته منطق نیوتن واضح نبود . او در کتاب خود بیان کرد که روش او بیشتر از اینکه به دقت نشان داده شده باشد مختصراً توضیح داده شده است . نیوتن در کتاب Methoelus Fluxionum et serierum Infinitarum تفسیر وسیع تر و صریح تر از ایده خود را ارائه داد . این کتاب در سال 1671 نوشته شد ام تا سال 1736 چاپ نشد . در این کتاب نیوتن بیان کرد که متغیرهای او از حرکت پیوسته نقاط ، خطوط و صفحه ها به دست می آیند نه از جمع استاتیک المان های بی نهایت کوچک که در مقاله اول بیان شده بود .

60 کارهای نیوتن او مقدار متغیر را سیال ( fluent) و نرخ تغییرات را فلو (fluxion) نامید. او نماد و را برای فلوها و و را برای سیال ها به کار برد . در مقاله دوم نیوتن توانست تا حدی به صورت واضح تر مسئله اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را بیان کند : رابطه میان دو سیال داده شده باشد ، رابطه میان فلو آنها را بیابیم و بالعکس

61 کارهای نیوتن نیوتن به تغییر زمان هم فکر کرد . بنابراین اگر یک بازه بی نهایت کوچک از زمان باشد، آنگاه و افزایش بی نهایت کوچک در x وy (نمو xو y) هستند . برای پیدا کردن رابطه میان xو yبه عنوان مثال فرض کنید سیال باشد . نیوتن در ابتدا نشان داد :

62 کارهای نیوتن و سپس معادله قبل را مانند مقاله اولش پیش برد . او سمت راست معادله قبل را به وسیله قضیه دوجمله ای گسترش داد . سپس را از آن کم کرد و حاصل را به o تقسیم کرد . در نهایت از جملاتی که هنوز شامل oصرفه نظر کرد و به عبارت زیر رسید: که در نمایش کنونی نتیجه را می توان به شکل زیر نوشت :

63 کارهای نیوتن لذا نیوتن در یافتن نسبت به ( نسبت به ) توانست را نیز پیدا کند .

64 کارهای نیوتن یافتن رابطه میان و وقتی رابطه میان و را داشته باشیم بسیار سخت تر از انتگرال گیری تابعی تنها از متغیر است . در این مورد نیوتن در چند مورد بحث کرد : وقتی ، و یا موجود باشند. وقتی ، ، و موجود باشند. وقتی ، ، و و سیالها موجود باشند. نوع اول از همه ساده تر است که در نمایش کنونی حل نامیده می شود.

65 کارهای نیوتن در مورد نوع دوم نیوتن را با یک پروسه موفق تقریب حل کرد . او ابتدا با به عنوان اولین تقریب شروع کرد و را به عنوان تابعی از بدست آورد در نهایت این مقدار را در سمت راست معادله اصلی به کار برد . نیوتن پروسه فوق را توضیح داد اما آن را توجیه نکرد. در مورد نوع سوم او در مورد بحث کرد، او ابتدا فرض کرد رابطه میان و به صورت باشد. بنابراین لذا معادله تبدیل می شود به ، لذا رابطه میان و به صورت است .

66 کارهای نیوتن نیوتن به استفاده از سری های بی نهایت اهمیت می داد زیرا به وسیله آن میتوانست تابعی همچون را هم مورد بررسی قرار دهد . در حالیکه دانشمندان قبل از او خودشان را به کل تابع جبری گویا محدود می کردند .

67 کارهای نیوتن سومین مقاله را حساب دیفرانسیل و انتگرال در کتاب Tractatus de Quadratura Curvarum ( یک چهارم منحنی ها ) در سال 1676 نوشت . این مقاله در سال 1704 منتشر شد . نیوتن این بار مقادیری بی نهایت کوچک را رها کرده است . او می گوید : « در ریاضی از کوچکترین خطا هم نمی توان چشم پوشی کرد . من در اینجا کمیت های ریاضی را تشکیل شده از اجزای خیلی کوچک در نظر نمی گیرم بلکه آنها را به عنوان یک حرکت پیوسته توصیف می کنم .» البته منطق این مقاله بهتر از دو مقاله قبلی نبود . با این وجود نیوتن می گفت روش او با هندسه و یافته های قبلی هماهنگی دارد و نیازی به معرفی مقادیر خیلی کوچک نیست .

68 کارهای نیوتن در کتاب method of fluxions نیوتن به معرفی تعدادی از کاربرد فلو ها پرداخت : مشتق گیری ضمنی از توابع ، یافتن مماس بر منحنی ، پیدا کردن ماکزیمم و می نیمم توابع ، انحنای منحنی ها و نقطه عطف منحنی ها . او همچنین مساحت و طول منحنی ها را هم بدست آورد . در ارتباط با انحنا او توانست فرمولی صحیح برای شعاع انحنا ارائه دهد . او همچنین تعادیر مشابهی را در دستگاه قطبی ارائه داد. در پایان یک جدول از انتگرال را اضافه کرد .

69 کارهای نیوتن در کتاب principia نیوتن از روشهای هندسی برای اثبات نظریاتش استفاده کرد . هر چند در مقالاتی که او آنها را مقالات پورت موث نامید از روش های تحلیلی برای یافتن برخی قضیه ها استفاده کرد . دلایلی که او برای اثبات قضیه ها به سراغ هندسه رفت : اثبات های هندسی برای هم دوره هایش بیشتر قابل درک بود . او کارهای هندسی هایگز ( Huyens) را بی اندازه تحسین می کرد و امیدوار بود که بتواند مشابه آن کار را انجام دهد . در اثبات های هندسی نیوتن از مفاهیم پایه حد استفاده کرد . به عنوان مثال مساحت زیر منحنی را به عنوان حد مجموع مستطیل های تقریبی در نظر گرفت .

70

71 پایان