1 Center problems Placer et givet antal nye faciliteter Alt efterspørgsel skal dækkes Dækningsdistancen skal minimeres.

Præsentationer af emnet: "1 Center problems Placer et givet antal nye faciliteter Alt efterspørgsel skal dækkes Dækningsdistancen skal minimeres."— Præsentationens transcript:

1 1 Center problems Placer et givet antal nye faciliteter Alt efterspørgsel skal dækkes Dækningsdistancen skal minimeres

2 2 Center problems Hvorfor kaldes det center problems Fordi den optimale placering er i centrum Her vil den mindste dækningsdistance være 4 Bemærk det har betydning om de nye faciliteter skal placeres i knuder 8 44

3 3 Center problems Problemer hvor de nye faciliteter skal placeres i knuder kaldes: Vertex center problems Problemer hvor de kan placeres frit kaldes: Absolute center problems Løsningen vil altid være mindst lige så god i et absolut problem.

4 4 Vertex P-center problems d ij afstand fra knude i til mulig placering j h i efterspørgsel i knude i Pantal nye faciliteter X j 1 hvis ny facilitet placeres i knude j Y ij andel af efterspørgsel som bliver tilfredsstillet af den nye facilitet j Wmax afstand til ny facilitet = dækningsdistancen

5 5 Vertex P-center problems DCDC # faciliteter < 76 7,84 93 10-142 151 AD F E C B 10 7 9 13 17 9 12 137 8 # faciliteterDCDC 115 210 39 47 57 60 Set coveringVertex P-center

6 6 Absolute 1-center on a tree Netværket er et træ Alle knuder har efterspørgsel på 1 (Uvægtet) Vi må placere nye faciliteter overalt

7 7 Absolute 1-center on a tree Algoritme 1.Vælg tilfældigt punkt, og find den knude (e 1 ) der er længst væk 2.Find den knude (e 2 ) der er længst væk fra e 1 3.Løsningen er punktet mellem e 1 og e 2 e1e1 e2e2 X*X*

8 8 Absolute 2-center on a tree Algoritme 1.Brug algoritmen for det absolutte 1-center problem 2.Fjern kanten som X * ligger på 3.Brug algoritmen for det absolutte 1-center problem på de 2 komponenter e1e1 e2e2 X*X* X1*X1* X2*X2*

9 9 Absolute 1-center on weighted tree min W s.t. W ≥ h i d(i,X),for alle i X skal ligge i netværket Optimal placering hvis: 3X = 2(10 – X) AB 10 h A = 3h B = 2 X = 4

10 10 Absolute 1-center on weighted tree Hvilke knuder bestemmer den optimale løsning? Undersøg alle knudepar! A 10 h A = 10h B = 6 B C 10 20 h B = 4

11 11 Absolute 1-center on weighted tree Undersøger parret A og B: 10X = 6(20 – X) X = 7,5 Vægtede distancer: A = 75 B = 75 C = 90 A 10 h A = 10h B = 6 B C 10 20 h B = 4

12 12 Absolute 1-center on weighted tree Undersøger parret A og C: 10X = 4(30 – X) X = 8,571428 Vægtede distancer: A = 85,71428 B = 68,57143 C = 85,71428 A 10 h A = 10h B = 6 B C 10 20 h B = 4

13 13 Absolute 1-center on weighted tree Undersøger parret B og C: 6X = 4(30 – X) X = 12 Vægtede distancer: A = 120 B = 72 C = 72 A 10 h A = 10h B = 6 B C 10 20 h B = 4

14 14 Algoritme: –For alle knudepar i,j udregn: –Find det par S, T der resulterer i den største værdi –Placer i punktet med afstand fra S på stien mellem S og T Absolute 1-center on weighted tree

15 15 Det er muligt at reducere antallet af udregninger Absolute 1-center on weighted tree H CB A D E G F 10 5 8 7 12 14 11 9 8 7 13 5 10 9 11

16 16 Udregn alle beta værdier for A Absolute 1-center on weighted tree ABCDEFGH A026,6761,76109,1145,8178,1170,593,33 B0 C0 D0 E0 F0 G0 H0

17 17 Find søjlen med den største værdi Absolute 1-center on weighted tree ABCDEFGH A026,6761,76109,1145,8178,1170,593,33 B0 C0 D0 E0 F0 G0 H0

18 18 Udregn beta-værdier for denne søjle Absolute 1-center on weighted tree ABCDEFGH A026,6761,76109,1145,8178,1170,593,33 B089,38 C081,28 D0137,7 E055,44 F0 G99,000 H180,60

19 19 Find rækken med største beta-værdi Absolute 1-center on weighted tree ABCDEFGH A026,6761,76109,1145,8178,1170,593,33 B089,38 C081,28 D0137,7 E055,44 F0 G99,000 H180,60

20 20 Udregn værdierne i denne række Absolute 1-center on weighted tree ABCDEFGH A026,6761,76109,1145,8178,1170,593,33 B089,38 C081,28 D0137,7 E055,44 F0 G99,000 H93,3340,0074,67120,0152,7180,6173,60

21 21 Find søjlen med størst beta-værdi Absolute 1-center on weighted tree ABCDEFGH A026,6761,76109,1145,8178,1170,593,33 B089,38 C081,28 D0137,7 E055,44 F0 G99,000 H93,3340,0074,67120,0152,7180,6173,60

22 22 Da søjle F er udregnet er vi færdige Men hvorfor? Absolute 1-center on weighted tree ABCDEFGH A026,6761,76109,1145,8178,1170,593,33 B089,38 C081,28 D0137,7 E055,44 F0 G99,000 H93,3340,0074,67120,0152,7180,6173,60

23 23 Vi vælger midtpunktet mellem F og H Absolute 1-center on weighted tree H CB A D E G F 10 5 8 7 12 14 11 9 8 7 13 5 10 9 11

24 24 Vi ser nu på en general graf Men antager at alle afstande er heltallige (Det er ikke så restriktivt) Algoritmen leder efter den mindst mulige dækningsdistance Uvægtede knude P-center problem

25 25 Hvordan findes den minimale dækningsdistance? Bruger sammenhængen mellem set covering problemet og knude P-center problemet Minimal dækningsdistance til P-center problemet = den mindste dækningsdistance som giver en løsning på mindre end eller lig P i set covering problemet Uvægtede knude P-center problem